｛３，８，１２０｝はどれもｎ^2−１型であるが

　　（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＋１＝ｍ^2ｎ^2−ｍ^2−ｎ^2＋２

これが一般に平方数になるわけではない．

　もちろん，

　　｛１，３，１６８０，２３４０８｝もｎ^2−１型である．

　　（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＋１＝ｍ^2ｎ^2−ｍ^2−ｎ^2＋２＝Ｎ^2

が平方数になるための条件とはどのようなものなのだろうか？

　　（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＋１＝Ｎ^2

　　（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＝（Ｎ＋１）（Ｎ−１）

とくに，ｍをｎで表すことはできないだろうか？

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　　（ｍ^2−１）（ｎ^2−１）＋１＝ｍ^2ｎ^2−ｍ^2−ｎ^2＋２＝Ｎ^2

ではなく，

　　ｍ^2ｎ^2−ｍ^2−ｎ^2＝−Ｎ^2

　　ｍ^2ｎ^2＋Ｎ^2＝ｍ^2＋ｎ^2

だとしたら，・・・

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　１０^2＋１１^2＝５^2＋１４^2

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

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　ｍ＞ｎ，ａ＞ｃ＞ｄ＞ｂとしても一般性は失われない．

（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2 ＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

を比較すると，

　　ｍｎ＝ａｃ＋ｂｄ

　　ｍ＝ａｄ＋ｂｃ

　　ｎ＝ａｃ−ｂｄ

　　ｎ（ｍ＋１）＝２ａｃ

　　ｎ（ｍ−１）＝２ｂｄ

　　ｍ＋１＝２ａｃ／ｎ

　　ｍ−１＝２ｂｄ／ｎ

　　ｍ＝（ａｃ＋ｂｄ）／ｎ＝ａｄ＋ｂｃ

　　ａｃ＋ｂｄ＝ｎ（ａｄ＋ｂｃ）

　　ａ（ｃ−ｎｄ）＝ｂ（ｄ−ｎｃ）

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