■平方数生成集合(その2)

 {3,8,120}はどれもn^2-1型であるが

  (m^2-1)(n^2-1)+1=m^2n^2-m^2-n^2+2

これが一般に平方数になるわけではない.

 もちろん,

  {1,3,1680,23408}もn^2-1型である.

  (m^2-1)(n^2-1)+1=m^2n^2-m^2-n^2+2=N^2

が平方数になるための条件とはどのようなものなのだろうか?

  (m^2-1)(n^2-1)+1=N^2

  (m^2-1)(n^2-1)=(N+1)(N-1)

とくに,mをnで表すことはできないだろうか?

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  (m^2-1)(n^2-1)+1=m^2n^2-m^2-n^2+2=N^2

ではなく,

  m^2n^2-m^2-n^2=-N^2

  m^2n^2+N^2=m^2+n^2

だとしたら,・・・

 フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

  (a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

は簡単に確認できます.この公式は2つの整数がともに平方数の和の形をしているなら,その2数の積も平方数で表されることを示していて,複素数と2平方和問題との関連を示しています.

  10^2+11^2=5^2+14^2

  50=1^2+7^2=5^2+5^2

  65=8^2+1^2=4^2+7^2

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 m>n,a>c>d>bとしても一般性は失われない.

(ac-bd)^2+(ad+bc)^2 =(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

を比較すると,

  mn=ac+bd

  m=ad+bc

  n=ac-bd

  n(m+1)=2ac

  n(m-1)=2bd

  m+1=2ac/n

  m-1=2bd/n

  m=(ac+bd)/n=ad+bc

  ac+bd=n(ad+bc)

  a(c-nd)=b(d-nc)

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