｛１｝，｛２，３，４｝，｛５，６，７，８，９，１０，１１，１２，１３｝，｛１４，１５，・・・，４０｝，・・・のようにグループ化して加えると和は平方数になる．

　１＝３^0　　（３^0項の和）

　２＋３＋４＝３^2　　（３^1項の和）

　５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＝３^4　　（３^2項の和）

　１４＋１５＋・・・＋４０＝３^6　　（３^3項の和）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　ｋ番目のグループまでの自然数の数は

　　１＋３＋・・・＋３^k-1＝（３^k−１）／２＝ｐ，（３^k-1−１）／２＝ｑ

　ｋ番目のグループ和は

　　ｐ（ｐ＋１）／２−ｑ（ｑ＋１）／２

＝｛（３^k−１）／２｝^2／２＋（３^k−１）／４−｛（３^k-1−１）／２｝^2／２−（３^k-1−１）／４

＝｛（３^k−１）／２＋（３^k-1−１）／２｝｛（３^k−３^k-1）／４｝＋（３^k−３^k-1）／４

＝｛（３^k＋３^k-1）／２｝｛（３^k−３^k-1）／４｝

＝｛３^2k−３^2k-2｝／８

＝３^2k-2｛３^2−１｝／８＝３^2k-2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝