｛１｝，｛２，３｝，｛４，５，６｝，｛７，８，９，１０｝，｛１１，１２，１３，１４，１５｝，・・・のようにグループ化し，奇数グループだけを加えると和は平方数になる．

　　１＝１＝１^2

　　１＋４＋５＋６＝１６＝４^2

　　１＋４＋５＋６＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝８１＝９^2

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　ｋ番目のグループまでの自然数の数は

　　１＋２＋・・・＋ｋ＝ｋ（ｋ＋１）／２＝ｐ，（ｋ−１）ｋ／２＝ｑ

　ｋ番目のグループ和は

　　ｐ（ｐ＋１）／２−ｑ（ｑ＋１）／２

＝ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋２）／８−（ｋ−１）ｋ（ｋ^2−ｋ＋２）／８

＝ｋ（ｋ^2＋１）／２

　奇数グループだけを加えると，ｋ＝２ｍ−１とおいて，

　　Σ｛（２ｍ−１）^3＋（２ｍ−１）｝／２

＝４Σｍ^3−６Σｍ^2＋４Σｍ−Σ１

＝ｍ^2（ｍ＋１）^2−ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）＋２ｍ（ｍ＋１）−ｍ

＝ｍ｛ｍ（ｍ＋１）^2−（ｍ＋１）（２ｍ＋１）＋２（ｍ＋１）−１｝

＝ｍ^4

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