（その３）では，６を除く偶数の完全数を９で割ると１あまることを証明したが，

　　１０＝１　　（ｍｏｄ９）

ではなく，

　　２^n＝±１　　（ｍｏｄ３）

を用いることたことが奏効した．

　ところで，ユークリッドは「原論」の中で，２^n−１が素数ならば２^n-1（２^n−１）は完全数であることを示した．２^n−１型素数をメルセンヌ素数という．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　また，６を除く偶数の完全数は１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・の部分和となる．

　　２８＝１^3＋３^3

　　４９６＝１^3＋３^3＋５^3＋７^3

　　１^3＋３^3＋５^3＋７^3＋９^3＋・・・

＝１^3＋３^3＋５^3＋・・・＋（２ｎ＋１）^3−２^3｛１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ^3｝

＝｛｛２ｎ＋１）（２ｎ＋２）／２｝^2−２^3｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

＝｛（ｎ＋１）（２ｎ＋１）}^2−２｛ｎ（ｎ＋１）｝^2

＝（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋４ｎ＋１）

　ｎ＝１のとき，２８

　ｎ＝３のとき，４９６

　ｎ＝７のとき，８１２８

　ｎ＝６３のとき，３３５５０３３６

　ｎ＝２５５のとき，８５８９８６９０５６

　ｎ＝２^k−１のとき，・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝