このシリーズで述べたことは，ベルヌーイのベキ和の公式

Σｋ＝ｎ（ｎ＋１）／２

Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

Σｋ^3＝ｎ^2（ｎ＋１）^2／４

Σｋ^4＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^2＋３ｎ−１）／３０

Σｋ^5＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（２ｎ^2＋２ｎ−１）／１２

Σｋ^6＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（３ｎ^4＋６ｎ^3−３ｎ＋１）／４２

Σｋ^7＝ｎ^2（ｎ＋１）^2（３ｎ^4＋６ｎ^3−ｎ^2−４ｎ＋２）／２４

が単純に２等分できること以上の意味をもっている．証明してみたい．

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　２の累乗，たとえば，１から２^5までのすべての数字を含む排他的数列では４乗和でも，１から２^6までのすべての数字を含む排他的数列では５乗和でも等しくなる．・・・２^kまでのすべての数字を含む排他的数列ではｋ−１乗和でも等しいと仮定する．

　このとき，ｒ＝２^k-1とおくと

　　｛ａ1，ａ2，・・・，ａr｝

　　｛ｂ1，ｂ2，・・・，ｂr｝

において，Σａi＝Σｂi，Σａi^2＝Σｂi^2，Σａi^k-1＝Σｂi^k-1が成り立つ．

　　ａr+1＝２ｒ＋ｂ1，・・・，ａ2r＝２ｒ＋ｂr

　　ｂr+1＝２ｒ＋ａ1，・・・，ｂ2r＝２ｒ＋ａr

とおくとき，Σａi^k＝Σｂi^kが成り立つことを証明できればよい．

　　Σａi^k＝ａ1^k＋・・・＋ａr^k＋（２ｒ＋ｂ1）^k＋・・・＋（２ｒ＋ｂr）^k

＝ａ1^k＋・・・＋ａr^k＋ｂ1^k＋・・・＋ｂr^k＋ＣΣｂi^k-1＋ＤΣｂi^k-2＋・・・＋Ｅ

　　Σｂi^k＝ｂ1^k＋・・・＋ｂr^k＋（２ｒ＋ａ1）^k＋・・・＋（２ｒ＋ａr）^k

＝ａ1^k＋・・・＋ａr^k＋ｂ1^k＋・・・＋ｂr^k＋ＣΣａi^k-1＋ＤΣａi^k-2＋・・・＋Ｅ

　仮定よりΣａi^k＝Σｂi^k．また，これより項数が２の累乗でなければならないこともわかるだろう．

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