（その２）の続きである．

　　５^2＋１２^2＝１３^2

　　１０^2＋１１^2＝５^2＋１４^2

から

　　１０^2＋１１^2＋１２^2＝１３^2＋１４^2

が得られるが，同じ方法で

　　２０^2＋２２^2＋２３^2＋２４^2＝２５^2＋２６^2＋２７^2

を得るのは大変そうである．そこで，２乗和の公式

　　Σｋ^2＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６

を用いることにしよう．

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　　５＝３＋２

　　５^2＝２５＝１２＋１３

これにより，１２までの３つの数（１０，１１，１２）と１３からの２つの数（１３，１４）の平方和が等しくなるのである．

　　１０^2＋１１^2＋１２^2＝１３^2＋１４^2

　２ｎ＋１＝（ｎ＋１）＋ｎ

　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ^2＋４ｎ＋１＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）

　　（２ｎ＋１）^2＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2

＝（２ｎ^2＋２ｎ）^2＋２（２ｎ^2＋２ｎ）＋１＝（２ｎ^2＋２ｎ＋１）^2

より，

［１］左辺は第２ｎ^2＋２ｎ項までの２乗和から第２ｎ^2＋２ｎ−ｎ−１項までの２乗和を引いたもの

［２］左辺は第２ｎ^2＋２ｎ＋ｎ項までの２乗和から２ｎ^2＋２ｎ項までの２乗和を引いたものである．

　ｍ＝２ｎ^2＋２ｎとおくと，

［１］ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６−（ｍ−ｎ−１）（ｍ−ｎ）（２ｍ−２ｎ−１）／６

［２］（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ＋１）（２ｍ＋２ｎ＋１）／６−ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）／６

（ｍ＋ｎ）（ｍ＋ｎ＋１）（２ｍ＋２ｎ＋１）＋（ｍ−ｎ−１）（ｍ−ｎ）（２ｍ−２ｎ−１）

＝２（ｍ＋ｎ）^3＋３（ｍ＋ｎ）^2＋（ｍ＋ｎ）

＋２（ｍ−ｎ−１）^3＋３（ｍ−ｎ−１）^2＋（ｍ−ｎ−１）

＝２（ｍ＋ｎ）^3＋３（ｍ＋ｎ）^2＋（ｍ＋ｎ）

＋２（ｍ−ｎ）^3＋３（ｍ−ｎ）^2＋（ｍ−ｎ）

−６（ｍ−ｎ）^2＋６（ｍ−ｎ）−２−６（ｍ−ｎ）＋３−１

＝２（２ｍ^3＋６ｍｎ^2）＋３（２ｍ^2＋２ｎ^2）＋２ｍ−６（ｍ^2−２ｍｎ＋ｎ^2）

＝４ｍ^3＋１２ｍｎ^2＋１２ｍｎ＋２ｍ

＝４ｍ^3＋６ｍ（２ｎ^2＋２ｎ）＋２ｍ

＝４ｍ^3＋６ｍ^2＋２ｍ

＝２ｍ（ｍ＋１）（２ｍ＋１）

　よって，［１］＝［２］

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