１＋２＝３

　４＋５＋６＝７＋８

　９＋１０＋１１＋１２＝１３＋１４＋１５

に似た数のパターンに以下のようなもがある．

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［１］奇数（の平方数）は連続した２つの数の和で表すことができる．たとえば，

　　３＝２＋１

　　３^2＝４＋５

これにより，４までの２つの数（３，４）と５からの１つの数（５）の平方和が等しくなるのである．

　　３^2＋４^2＝５^2

　　５＝３＋２

　　５^2＝２５＝１２＋１３

これにより，１２までの３つの数（１０，１１，１２）と１３からの２つの数（１３，１４）の平方和が等しくなるのである．

　　１０^2＋１１^2＋１２^2＝１３^2＋１４^2

　　７＝４＋３

　　７^2＝２４＋２５

これにより，２４までの４つの数（２１，２２，２３，２４）と２５からの３つの数（２５，２６，２７）の平方和が等しくなるのである．

　　２０^2＋２２^2＋２３^2＋２４^2＝２５^2＋２６^2＋２７^2

以下同様．

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［２］（１を除く）奇数の平方数を２つの連続した整数の和として表すことによって，ピタゴラスの三つ組みを得ることができる．

　　３^2＝４＋５→（３，４，５）→３^2＋４^2＝５^2

　　５^2＝１２＋１３→（５，１２，１３）→５^2＋１２^2＝１３^2

　　７^2＝２４＋２５→（７，２４，２５）→７^2＋２４^2＝２５^2

　　９^2＝４０＋４１→（９，４０，４１）→９^2＋４０^2＝４１^2

　これは

　　（２ｎ＋１）^2＝４ｎ^2＋４ｎ＋１＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）

　　（２ｎ＋１）^2＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2＝（２ｎ^2＋２ｎ）＋（２ｎ^2＋２ｎ＋１）＋（２ｎ^2＋２ｎ）^2

＝（２ｎ^2＋２ｎ）^2＋２（２ｎ^2＋２ｎ）＋１

＝（２ｎ^2＋２ｎ＋１）^2

に基づく．

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［３］

　　５^2＋１２^2＝１３^2

　　１０^2＋１１^2＝５^2＋１４^2

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

　　（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

　　５０＝１^2＋７^2＝５^2＋５^2

　　６５＝８^2＋１^2＝４^2＋７^2

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