［１］４対｛１，２｝，・・・，｛７，８｝で考えると一方が｛ａn｝に，他方が｛ｂn｝にはいる．

［２］｛ａn｝，｛ｂn｝にはそれぞれ４つの偶数，４つの奇数が属しています．

　ここで，仮に

｛ａn｝＝｛１，３，５，７｝

｛ｂn｝＝｛２，４，６，８｝

とすると，

｛ａn^2｝＝｛１，９，２５，４９｝

｛ｂn^2｝＝｛４，１６，３６，６４｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^2−ａn^2｝＝｛３，７，１１，１５｝・・・等差数列

　したがって，うまく交換することによって

｛ａn^2｝＝｛４，９，２５，６４｝

｛ｂn^2｝＝｛１，１６，３６，４９｝

｛ｃn｝＝｛ａn^2−ｂn^2｝＝｛３，−７，−１１，１５｝＝０

とすることができた．

　２乗の階差をとったが，３乗ではいかに？

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｛ａn^3｝＝｛１，２７，１２５，３４３｝

｛ｂn^3｝＝｛８，６４，２１６，５１２｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛７，３７，９１，１６９｝

さらに階差をとる

｛ｄn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛３０，５４，７８｝・・・等差数列

になる．等差数列であるから，５４・２＝３０＋７８

　１から８までのすべての数字を含む排他的数列では無理かもしれないが，最終的に｛ｃn｝に±の符号を付けたものの和が０にならなければならない．

　１から１６までのすべての数字を含む排他的数列では，それが可能なのであるが，具体的なアルゴリズムはどうなっているのだろうか？

｛ａn^3｝＝｛１，２７，１２５，３４３，７２９，１３３１，２１９７，３３７５｝｝

｛ｂn^3｝＝｛８，６４，２１６，５１２，１０００，１７２８，２７４４，４０９６｝

｛ｃn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛７，３７，９１，１６９，２７１，３９７，５４７，７２１｝

さらに階差をとる

｛ｄn｝＝｛ｂn^3−ａn^3｝＝｛３０，５４，７８，１０２，１２６，１５０，１７４｝・・・等差数列

になる．

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