［１］７２９＝９^3＝３^6は平方数である．

　ａ0＝７２９

　ａ1＝７１２８９

　ａ2＝７１１２８８９

　ａ3＝７１１１２８８８９

　・・・・・・・・・・・・

　ａk＝７（１）k２（８）k９

はみな平方数である．

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［２］自然数のグループ和

　｛１｝，｛２，３｝，｛４，５，６｝，｛７，８，９，１０｝，｛１１，１２，１３，１４，１５｝，・・・のようにグループ化し，奇数グループだけを加えると和は平方数になる．

　　１＝１＝１^2

　　１＋４＋５＋６＝１６＝４^2

　　１＋４＋５＋６＋１１＋１２＋１３＋１４＋１５＝９１＝９^2

　また，｛１｝，｛２，３，４｝，｛５，６，７，８，９，１０，１１，１１２，１３｝，｛１４，１５，・・・，４０｝，・・・のようにグループ化して加えると和は平方数になる．

　１＝３^0　　（３^0項の和）

　２＋３＋４＝３^2　　（３^1項の和）

　５＋６＋７＋８＋９＋１０＋１１＋１２＋１３＝３^4　　（３^2項の和）

　１４＋１５＋・・・＋４０＝３^6　　（３^3項の和）

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［３］２乗和が等しい数列

１から８までのすべての数字を含む排他的数列

｛ａn｝＝｛１，４，５，８｝

｛ｂn｝＝｛２，３，６，７｝

　　２＋３＋５＋８＝１＋４＋６＋７＝１８

　　２^2＋３^2＋５^2＋８^2＝１^2＋４^2＋６^2＋７^2＝１０２

１から１６までのすべての数字を含む排他的数列

　｛ａn｝＝｛１，４，６，７，１０，１１，１３，１６｝

　｛ｂn｝＝｛２，３，５，８，９，１２，１４，１５｝

　１＋４＋６＋７＋１０＋１１＋１３＋１６＝２＋３＋５＋８＋９＋１２＋１４＋１５＝６８

　１^2＋４^2＋６^2＋７^2＋１０^2＋１１^2＋１３^2＋１６^2＝２^2＋３^2＋５^2＋８^2＋９^2＋１２^2＋１４^2＋１５^2＝７４８

　１^3＋４^3＋６^3＋７^3＋１０^3＋１１^3＋１３^3＋１６^3＝２^3＋３^3＋５^3＋８^3＋９^3＋１２^3＋１４^3＋１５^3＝９２４８

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［４］どの２項の和も平方数になる数列（エルデシュの問題）

　ｎ＝５に対する最小の数列は

　　｛７４４２，２８６５８，１４８５８３，１１７４５８，７６３４４３｝

ｎ＝６に対して知られている唯一の数列には１つ負の数が含まれている．

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［５］０から９の数字を全部使ってできる平方数は？

［Ａ］８７個ある．

　　最小のものは１０２６７５３８４９＝３２０４３^2

　　最大のものは９８１４０７２３５６＝９９０６６^2

　２番目は３２２８６，８６番目は９８０５５

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［６］１から９の数字を全部使ってできる平方数は？

［Ａ］３０個ある．

　　最小のものは１３９８５４２７６＝１１８２６^2

　　最大のものは９２３１８７４５６＝３０３８４^2

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