レイリーの定理（ヴィノグラードフの定理）とは「α，βを１／α＋１／β＝１を満たす無理数，［］をガウス記号とするとき，２つの数列｛ａn｝＝｛［ｎα］｝，｛ｂn｝＝｛［ｎβ］｝は共通項がなく，併せるとすべての整数１，２，３，・・・を与える．」というものです．

　１／α＋１／β＝１→β＝α／（α−１）より，αとβは両方とも有理数か両方とも無理数のどちらかですか，両方とも無理数のとき，整数を分割するわけです．すなわち，実数αのスペクトルを，整数の集合

　　Ｓｐｅｃ（α）＝｛［α］，［２α］，［３α］，・・・｝α

で定義すると，α，βが無理数で１／α＋１／β＝１を満たすとき，そのときに限り，Ｓｐｅｃ（α）とＳｐｅｃ（β）は整数を分割します．たとえば，ビーティ数列

　　ａk＝［ｎτ］＝１，３，４，６，８，９，１１，・・・

　　ｂk＝［ｎτ^2］＝２，５，７，１２，１３，１５，１８，・・・

これらはどんな整数に対しても重複も除外もされないのですが，まずはその証明から．

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【１】ヴィノグラードフの定理の証明

　逆にいうと，［αｘ］と［βｙ］を合わせると自然数全体が重複なしに表されるものとする，それはα，βは無理数で１／α＋１／β＝１が成り立つとき，そのときに限ることを証明してみましょう．

［１］条件の必要性

　［αｘ］≦Ｎとなるようなｘの個数は，Ｎ／α＋λ　　（０≦λ≦Ｃ）

　［βｙ］≦Ｎとなるようなｙの個数は，Ｎ／β＋μ　　（０≦μ≦Ｄ）

という形に表される．ただし，Ｃ，ＤはとものＮに無関係な定数である．

　Ｎ／α＋λ＋Ｎ／β＋μ＝Ｎの両辺をＮで割ってＮ→∞とすれば，

　　１／α＋１／β＝１

が得られる．もし，αが有理数α＝ａ／ｂ　　（ａ＞ｂ＞０）と書けたとすると，１／α＋１／β＝１より，［αｂ］＝［β（ａ−ｂ）］が出てくる．

［２］条件の十分性

　条件が満足されていると仮定する．ｃを正の整数として，ｘ≧ｃ／α，ｙ≧ｃ／βを成り立たせる最小の整数ｘ，ｙをそれぞれ

　　ｘ0＝ｃ／α＋ξ，ｙ0＝ｃ／β＋η　　（０＜ξ，η＜１）

とおく．ｘ＞ｘ0→［αｘ］＞ｃ，ｙ＞ｙ0→［αｘ］＞ｃ．また，αξ，βηは無理数である．

　ｘ0＋ｙ0＝ｃ＋η＋ξであるからξ＋η＝１．したがって，αξ／α＋βη／β＝１である．ゆえにαξとβηのうちの一方，そして一方のみが１より小さい．ゆえに［αξ］と［βη］のうちの一方，そして一方のみがｃに等しい．

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【２】別証

　　ｗ＜１，ａm＝［ｍ／ｗ］，ｂm＝［ｍ／（１−ｗ）］

とする．整数ｋを数列ａmの１項とすると

　　ｍ／ｗ−１＜ｋ＝［ｍ／ｗ］＜ｍ／ｗ

　　ｍ−ｗ＜ｋｗ＜ｍ

一方，整数ｋを数列ｂmの１項とすると

　　ｍ＜ｋｗ＜ｍ＋１−ｗ

となるｍが存在する．

　これらは完全に相補的である．すなわち，与えられた整数ｋはａmかｂmのいずれかの項である．

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【３】発展？

（Ｑ）Ｓｐｅｃ（α），Ｓｐｅｃ（β），Ｓｐｅｃ（γ）が整数を分割するような実数α，β，γは存在するでしょうか？

（Ａ）不可能（存在しない）．

　レイリーの定理は，

　　１／α＋１／β＋１／γ＝１

かつ

　　｛（ｎ＋１）／α｝＋｛（ｎ＋１）／β｝＋｛（ｎ＋１）／γ｝＝１

のとき，そのときに限り３分割が起こることを示している．

　しかし，ワイルの一様分布定理から，δが無理数のとき，｛（ｎ＋１）／δ｝の平均値は１／２である→矛盾．δが有理数（ｍ／ｎ）ならば，平均値は３／２−１／（２ｎ）→矛盾．δが整数の場合もうまくいかない．すなわち，存在しないことを示している．

　相補的数列となるのは，

［１］２系列

［２］１／α1＋１／α2＝１

［３］α1は無理数

の場合に限られるのである．

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