［Ｑ］互いに合同な正多角形を隙間も重なりもないように並べて平面を完全に埋める仕方が何通りあるでしょうか？

［Ａ］この問題は昔から知られていて，それが３種類に限ることは以下のようにして証明されます．

　正多角形の中で平面をタイル張りのように隙間なく埋めつくすことができる平面充填形では，各頂点に正ｐ角形がｑ面が会するとすると，正ｐ角形の一つの内角は２（１−２／ｐ）×９０°であり，一つの頂点の回りの内角の和はこれがｑ個集まって四直角ですから，

　　２ｑ（１−２／ｐ）＝４，すなわち，

　　１／ｐ＋１／ｑ＝１／２　　　（ｐ，ｑ≧３）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＝４　　　（ｐ，ｑ≧３）

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．したがって，平面充填形は正三角形，正方形，正六角形の３つだけです．このうち正方形のは碁盤，正六角形のは蜂の巣などでおなじみでしょう．

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［Ｑ］周長と面積が等しい長方形を求めよ．

［Ａ］ｐ×ｑの長方形を考える．周長２（ｐ＋ｑ），面積ｐｑより

　　ｐｑ＝２（ｐ＋ｑ）

　　（ｐ−２）（ｑ−２）＝４

で，この条件を満たす（ｐ，ｑ）の組は（３，６），（４，４），（６，３）の３通りしかありません．

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