数の平方数分割すなわち「すべての整数は４つの平方数の和によって表し得る」（ラグランジュ）

　　ｎ＝□＋□＋□＋□，□＝ｋ^2

は有名である．

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【１】ラグランジュの定理（４平方和定理）の言い替え

　「すべての正の整数は高々４個の整数の平方和で表される」というのが，ラグランジュの定理です．すなわち，ラグランジュの定理は４次元空間内の原点を中心とする半径√ｎの球面には必ず格子点があることを主張しているわけです．半径√ｎの２次元の円，３次元の球には格子点が存在するとは限らないのです．

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【２】ミンコフスキーの数の幾何学（格子点定理）

　ミンコフスキーはアインシュタインの先生として有名で，相対論における基本概念はミンコフスキーにその起源をたどることができます．彼は数論家として出発しましたが，研究を進めるにしたがって次第に幾何学に興味を惹かれるようになり，幾何学的方法を用いて数論を研究する「数の幾何学」と呼ばれる新しい数学分野を打ち立てました．

　格子点定理が数の幾何学の基礎となっているのですが，格子点定理は次のように述べることができます．

　「平面（ｎ次元空間）上の任意の単位格子において，１つの格子点を中心として１辺の長さが２の正方形（面積４の平行四辺形，面積２^nの中心対称な凸体）を任意の向きにおいてみると，内部あるいは境界上にもうひとつの格子点が必ず存在する．」

　半径ｒの４次元球の体積は

　　Ｖ＝π^2／Γ（３）・ｒ^4＝π^2／２・ｒ^4＝２^4

したがって，

　　ｒ＝２（２／π^2）^1/4＞１

はラグランジュの定理の短い証明を与えてくれる．

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