ｎ倍体の場合，

　　ｎが偶数ならばｎ^3／２：ｎ^3／２

　　ｎが奇数ならば（ｎ^3＋１）／２：（ｎ^3−１）／２

となるが，本当は別の形で証明したかった・・・

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＝１０^2

はたまたまこうなったのではなく，最初のｎ個の立方数の和は平方数になる．

　　Σｋ^3＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2

　　１^3＝１^2

　　１^3＋２^3＝３^2

　　１^3＋２^3＋３^3＝６^2

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＝１０^2

　　１^3＋２^3＋３^3＋４^3＋５^3＝１５^2

　ここで，

　　１＝１

　　３＝１＋２

　　６＝１＋２＋３

　　１０＝１＋２＋３＋４

　　１５＝１＋２＋３＋４＋５

であるから，

　　１^3＋２^3＋３^3＋・・・＋ｎ3＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　フィボナッチはこれを次のように証明しました．

　　１^3 ＝１

　　２^3 ＝３＋５

　　３^3 ＝７＋９＋１１

　　４^3 ＝１３＋１５＋１７＋１９

　　５^3 ＝２１＋２３＋２５＋２７＋２９，・・・

　また，最初のｎ個の奇数の和は

　　１＋３＋５＋・・・＋（２ｎ−１）＝ｎ＾2

最初のｎ項までに現れる奇数の全項数は

　　１＋２＋３＋・・・＋ｎ＝ｎ（ｎ＋１）／２

よって，

　　１^3 ＋２^3 ＋３^3 ＋・・・＋ｎ^3 ＝｛ｎ（ｎ＋１）／２｝^2 ＝（１＋２＋３＋・・・＋ｎ）^2

が示されます．

　三角数とはｍ（ｍ＋１）／２の型の自然数のことと定義すると，任意の立方数は２つの三角数の平方数の差と表されることがわかります．すなわち，

　　ｙ^3 ＝｛ｙ（ｙ＋１）／２｝^2−｛ｙ（ｙ−１）／２｝^2

がこの証明の根拠となっていることが理解されます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝