４次元以上の正多細体を初めて深く研究した数学者は，１９世紀，スイスのシュレーフリをいわれている．シュレーフリは結晶群の研究者でもあった．

　３次元正多面体の二面角δは

　｛３，３｝→ｃｏｓδ＝１／３　　（δ＝７０．５°）

　｛３，４｝→ｃｏｓδ＝−１／３　　（δ＝１０９．５°）

　｛３，５｝→ｃｏｓδ＝−√５／３　　（δ＝１３８．２°）

　｛４，３｝→ｃｏｓδ＝０　　（δ＝９０°）

　｛５，３｝→ｃｏｓδ＝−√５／５　　（δ＝１１６．６°）

である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　３次元同様，４次元正多胞体の候補となるのは，二面角が１２０°未満であるあるから，

［１］｛３，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個，４個，５個集めることができる．→｛３，３，３｝，（３，３，４｝，｛３，３，５｝

［２］｛３，４｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛３，４，３｝

［３］｛４，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛４，３，３｝

［３］｛５，３｝を用いるならば，ひとつの辺にそれを３個集めることができる．→｛５，３，３｝

　４次元正多胞体は最大でも６つしかないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝