コラム「パズルワールド散策（その７）」で取り上げた初項１，第２項２のフィボナッチ数列
１，２，３，５，８，１３，・・・
の一般項は
Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］
で表されるが，
Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝
はその三角関数表現になっているとのことである．
この式はどうやって求めたものなのか，その方法が思いつかずしばらく考えさせられたがやっと解決することができた．
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【１】ｘ^n+1−１の因数分解
ｆ（ｘ）＝ｘ^n+1−１＝０の解を
αk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／（ｎ＋１））
とおく．
複素数αkの共約複素数をαk~で表すことにすると
αk＋αk~＝２ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１）），αkαk~＝１
より，
（ｘ−αk）（ｘ−αk~）＝ｘ^2−２ｐk＋１
ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））
となる．
ｘ^n+1−１の因数分解はｎの偶奇によって若干様子が異なるが，ｎが偶数（ｎ＝２ｍ）ならば，ｎ＋１＝２ｍ＋１は奇数となって，ｆ（ｘ）＝０の解は１，α1，α1~，αm，αm~となるから
ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）Π(k=1~m)（ｘ^2−２ｐk＋１）
ｎが奇数のとき（ｎ＋１＝２ｍ）は，±１，α1，α1~，αm-1，αm-1~より
ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）Π(k=1~m-1)（ｘ^2−２ｐk＋１）
となる．
以上のことを同次化すると
ｎ＝２ｍのとき，
ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）Π(k=1~m)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）
ｎ＝２ｍ−１のとき，
ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）Π(k=1~m-1)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）
ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））
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【２】フィボナッチ数列の三角関数表現
φ＝（１＋√５）／２，−１／φ＝（１−√５）／２
とおくと，
Ｆn＝１／√５［φ^n+1−（−１／φ）^n+1］
となる．
また，
ｔ＝√５／２，φ＝１／２＋ｔ＝ａ，−１／φ＝１／２−ｔ＝ｂ
とおくと，
ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2
＝（１／２＋ｔ）^2−２ｐk（１／２＋ｔ）（１／２−ｔ）＋（１／２−ｔ）^2
＝２｛（２^-2＋ｔ^2）−（２^-2−ｔ^2）ｐk｝
＝２｛２^-2（１−ｐk）＋ｔ^2（１＋ｐk）｝
ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））のとき，半角の公式
１−ｐk＝２ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））
１＋ｐk＝２ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））
より
ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2
＝ｓｉｎ^2（ｋπ／（ｎ＋１））＋４ｔ^2ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））
＝１＋（４ｔ^2−１）ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））
＝１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））
ｎが偶数の場合，
（ａ−ｂ）／√５＝１，ｍ＝ｎ／２
ｎが奇数の場合，
（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）／√５＝１，ｍ＝（ｎ＋１）／２
となって，いずれの場合も
Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝
で表されるというわけである．
初項１，第２項１から始まるフィボナッチ数列
１，１，２，３，５，８，・・・
の場合は，
Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n−｛（１−√５）／２｝^n］
であるから，ｘ^n−１に対応していて
Ｆn＝Π(k=1~[n/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／ｎ）｝
となる．
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【３】雑感
コラム「パズルワールド散策（その７）」で取り上げた畳敷きの問題（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）で，とくにｍ＝１のときは
Ｋ（ｎ×２）＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝
という式が出てくるが，これはフィボナッチ数列の三角関数表現になっている．
ここで，ｎ→２ｍと置き換えれば
Ｋ（２ｍ×２）＝Ｋ（２×２ｍ）
＝Π(k=1~m]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝
となる．また，ｎ＝１のとき，畳の敷き方はただ１通りであるから，
Ｋ（１×２ｍ）＝１
１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））
の１はＫ（１×２ｍ）＝１の場合に対応していて，組み合わせ数の本質的な部分は
４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））
と思われる．そこで，Ｋ（ｎ×２ｍ）を求めるには１の代わりに
４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））
を用いればよいことになる．
以上のことから，
Ｋ（ｎ×２ｍ）
＝Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝
＝２^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝
と考えられるのである．１が消えた理由を無理矢理こじつけたようであるが，・・・
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