ちょうど昨年の今頃は

　RV Moody, J Patera: Voronoi and Delaunay cells of root lattices: classification of their faces and facets by Coxter-Dynkin diagrams, J Phys A Math Gen 25(1992), 5089-5134

を読んでいたのであるが，２^n＋２ｎ胞体，２（２^n−１）胞体が自然にでてきた．

　空間充填図形とは直接関係していなかったが，このシリーズの検討から，空間充填図形の双対図形であることがわかった．

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【１】Ａnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧１）

　　ｆ0＝２（２^n−１）

　　ｆ1＝２（２^n-1−１）（ｎ＋１，１）

　　ｆk＝２（２^n-k−１）（ｎ＋１，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　ｆ1を計算すると

　　２４（ｎ＝３），７０（ｎ＝４），１８０（ｎ＝５），４３４（ｎ＝６）

　空間充填２（２^n−１）胞体のｎ−２面数は

　　３６（ｎ＝３），１５０（ｎ＝４），５４０（ｎ＝５），１８０６（ｎ＝６）

で，一致しない．

　そこで，

　　Ｎ0＝２（２^n−１）

　　Ｎ1＝２（２^n-1−１）（ｎ＋１，１）＝２（ｎ＋１）（２^n-1−１）

　　Ｎk＝２（２^n-k−１）（ｎ＋１，ｋ）

とおいて，この公式において

　　ｋ←ｎ−ｋ−１

と置換すると

　　ｆk＝Ｎn-k-1＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｎ−ｋ−１）＝２（２^k+1−１）（ｎ＋１，ｋ＋２）

　　ｆ0＝ｎ（ｎ＋１）

　　ｆ1＝（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）＝（ｎ−１）ｆ0

　　ｆn-1＝２（２^n−１）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（１２，２４，１４）→存在（１０１）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２０，６０，７０，３０）→存在（１００１）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（３０，１２０，２１０，１８０，６２）→存在（１０００１）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（４２，２１０，４９０，６３０，４３４，１２６）→存在（１０００１）

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【２】Ｂnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧２）

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はｎ次元立方体の面数公式であり，オイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　　ｆ0＝２^n

　　ｆ1＝２^n-1ｎ

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【３】Ｃnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧３）

　　ｆ0＝２^n＋２ｎ

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）＋２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）　　１≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　　ｆ1＝２^n-1ｎ＋２^nｎ＝３・２^n-1ｎ

　ｆ1を計算すると

　　２４（ｎ＝３），９６（ｎ＝４），２４０（ｎ＝５），５７６（ｎ＝６）

　空間充填２^n＋２ｎ胞体のｎ−２面数は

　　３６（ｎ＝３），９６（ｎ＝４），２８０（ｎ＝５），６３６（ｎ＝６）

で，一致しない．

　そこで，

　　Ｎ0＝２^n＋２ｎ

　　Ｎk＝２^n-k（ｎ，ｋ）＋２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）　　１≦ｋ≦ｎ−３

　　Ｎn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　Ｎn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

とおいて，この公式において

　　ｋ←ｎ−ｋ−１

と置換すると

　　ｆk＝Ｎn-k-1＝２^k+1（ｎ，ｎ−ｋ−１）＋２^k+2（ｎ−ｋ−１）（ｎ，ｎ−ｋ−１）

＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）＋２^k+2（ｎ−ｋ−１）（ｎ，ｋ＋１）

　　１≧ｎ−ｋ−１≧ｎ−３→２≦ｋ≦ｎ−２

　　ｆ0＝２^2（ｎ，ｎ−２）＝２ｎ（ｎ−１）

　　ｆ1＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）＝２（ｎ−２）ｆ0

　　ｆn-1＝２^n＋２ｎ

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（１２，２４，１４）→存在（０１０）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（２４，９６，９６，２４）→存在（０１００）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（４０，２４０，４００，２４０，４２）→存在（０１０００）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（６０，４８０，１１２０，１２００，５７６，７６）→存在（０１００００）

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【４】Ｄnのボロノイ細胞の要素数（ｎ≧４）

　　ｆ0＝２ｎ＋２^n

　　ｆ1＝３・２^n-1ｎ

　　ｆk＝２^n-k+1ｋ（ｎ，ｋ）＋２^n-k（ｎ，ｋ）　　２≦ｋ≦ｎ−３

　　ｆn-2＝２^3（ｎ−２）（ｎ，ｎ−２）

　　ｆn-1＝２^2（ｎ，ｎ−２）

はオイラー・ポアンカレの公式を満たす．

　ｆ1を計算すると

　　９６（ｎ＝４），２４０（ｎ＝５），５７６（ｎ＝６）

　空間充填２^n＋２ｎ胞体のｎ−２面数は

　　９６（ｎ＝４），２８０（ｎ＝５），６３６（ｎ＝６）

で，一致しない．

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【５】まとめ

　Ａnのボロノイ細胞からは，全切頂切稜型準正多胞体，

　　｛３，３｝（１０１）

　　｛３，３，３｝（１００１）

　　｛３，３，３，３｝（１０００１）

　　｛３，３，３，３，３｝（１００００１）

Ｃnのボロノイ細胞からは，切頂型準正多胞体を構成することができた．

　　｛３，４｝（０１０）

　　｛３，３，４｝（０１００）

　　｛３，３，３，４｝（０１０００）

　　｛３，３，３，３，４｝（０１００００）

　後者はＦＣＣ結晶の双対図形として理解されるが，前者は何の結晶の双対図形に対応しているのだろうか？　まさとは思うが，ミンコフスキー結晶？

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