朝鮮サイコロ（old Korean dice）は正方形６枚と六角形（正六角形ではない）８枚の２種類の面をもつ１４面サイコロです．普通の立方体のサイコロの８つの角を三角に切り落とした形（切頂立方体）で，球に外接しかつＳ^3／Ｖ^2比が最小となる１４面体です．

　この多面体は内接球をもちますから，中心から各面までの距離は同じです．正方形面（Ｓ4）と六角形面（Ｓ6）の面積は異なりますが，

　　Ｓ4：Ｓ6＝８：９

と簡単な整数比になります．今回のコラムでは答えが簡単な整数比になる幾何の問題を取り上げてみます．

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［Ｑ１］同一の円に内接・外接する２つの正六角形を考える．小さい正六角形の面積が３のとき，大きい正六角形の面積は？

［Ａ１］小さい正六角形の頂点と大きい正六角形の辺の中点が一致するように，外側の正六角形を回転させる．次に円の中心と内側の正六角形の頂点を結び，内側の正六角形を正三角形で６等分する．さらに正三角形の重心と頂点を結び，内角３０°，３０°，１２０°の二等辺三角形で内側の正六角形を１８等分する．

　このように線でわけると「麻の葉文様」の２４個の合同な三角形ができる．そのうち１８個が小さな正六角形を形作る．面積比は１８：２４＝３：４であるから，大きい正六角形の面積は４となる．この問題に三角関数は不要であって，計算してはならない問題なのである．

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［Ｑ２］１辺の長さが２の正方形に内接する正十二角形の面積は？

［Ａ２］２×２正方形は１６個の合同な正三角形と３２個の合同な二等辺三角形（内角１５°，１５°，１５０°）に分割される．正十二角形は１２個の正三角形と２４個の二等辺三角形により形作られる．したがって，この正十二角形の面積は３である．すなわち，半径１の円に内接する正十二角形の面積は３であるという円周率πの近似を与えていることになる．

　この問題は１８９８年にハンガリーの数学者キルシェクにより十二角形の面積が決定されたもので「キルシェクのタイル」と呼ばれる．正方形の中に各辺を１辺とする正三角形を４個作る．次に正三角形の頂点で正方形の中にあるもの同士を結んで正方形を作る．すると，正方形の各辺の中点４個と４つの正三角形の交点８個で正十二角形ができる．このように，正三角形の頂点を結んで作られた正方形と正十二角形がキルシェクのタイルの基本形となる．

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［Ｑ３］縦横が整数比の長方形のビリヤード台がある．１つの隅から球を４５°の角度で打ち出すと，何回か跳ね返ってから４隅のうちの１つに達する．このとき跳ね返る回数は？

［Ａ３］この問題に対する基本的な考え方は，球を反射させる代わりに，ビリヤード台の鏡像を枠の外に作ってやるというものである．すなわち，軌道自体を折り曲げる代わりに衝突するたびに衝突した辺を軸にビリヤード台自身をひっくり返すのである．このような図形を鏡像群と呼べば，鏡像群を貫く直線がビリヤード球の軌跡に対応し，球の折れ線の路は直線で置き換えられる．

　球の経路を求める際に直角二等辺三角形ができるためには，ビリヤード台の縦横の整数比（既約）をｐ：ｑとすると，縦方向にｑ−１回，横方向にｐ−１回折り返せばよいので，跳ね返る回数はｐ＋ｑ−２回となる．

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【あとがき】

　コラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その１９）」ではダブル充填図形を取り扱った．『立方体が空間充填図形であることは明らかである．立方体の展開図は１１種類あり，意外なことにそのすべてが平面充填図形となる．』と書いたのだが，コラム「パズルワールド散策（その６）」では『回転や反転で同型になるものは同じと数えると，モノミノ（１），ドミノ（１），トロミノ（２），テトロミノ（５），ペントミノ（１２），ヘキソミノ（３５），ヘプトミノ（１０８），オクトミノ（３６９），・・・』すなわち，ヘキソミノは全部で３５種類ある．

　ヘキソミノは６つの正方形を組み合わせた平面図形であるから，両者の主張は矛盾しているようにも聞こえるかもしれない．しかし，ヘキソミノの中には立方体の展開図にならないものも含まれているのであって，矛盾にはあたらない．

　立方体の展開するには８頂点すべてにはさみを入れることが必要で，その辺のうち７本を切り離して展開してできる図形が展開図である．立方体の展開図とヘキソミノはイコールではないのである．

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