ひょっとしたら，ステルマー分解が役立つかもしれません．

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【１】ステルマーの定理

　ｎ^2＋１の最大素因数ｐが２ｎ以上となる正整数ｎをステルマー数と呼びます．ｎ＝３のとき，３^2＋１＝１０＝２・５→ｐ＝５ですから，３はステルマー数ではありません．同様に，

　ｎ＝７　　　　７^2＋１＝５０＝２・５^2　→　ｐ＝５

　ｎ＝１８　　　１８^2＋１＝３２５＝５^2・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝５７　　　５７^2＋１＝３２５０→ｐ＝２・５^3・１３→ｐ＝１３

　ｎ＝２３９　　２３９^2＋１＝２・１３^4→ｐ＝１３

もステルマー数ではありません．

　一方，ｎ＝２のとき，２^2＋１＝５→ｐ＝５ですから，２はステルマー数です．最初の３０個のステルマー数は，

　　ｎ＝１，２，４，５，６，９，１０，１１，１２，１４，１５，１６，１９，２０，２２，２３，２４，２５，２６，２７，２８，２９，３３，３４，３５，３６，３７，３９，４０，４２

［補］ｍ＝ｎ^2＋１のとき，

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝Σａｒｃｔａｎ１／｛（ｎ^2＋１）ｋ^2−（ｎ−１）^2ｋ−（ｎ−１）｝

　ｎ^2＋１＝ｋｍのときだけ

ａｒｃｔａｎ（１／ｎ）＝ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｍ））＋ａｒｃｔａｎ（１／（ｎ＋ｋ））が成り立つのですが，ステルマーはどんなａｒｃｔａｎ（ｘ）もｎがステルマー数になっているａｒｃｔａｎ（１／ｎ）の和として一意に表されることを発見しました．

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