ｎ次元接吻数ｋ（ｎ）について，８次元と２４次元は特別なことが起きていて，

　　ｋ（８）＝２４０，ｋ（２４）＝１９６５６０

となります．

　なぜそうなるのかという真の理由はわかっていませんが，ミルナーは

　　８＝３^2−１，２４＝５^2−１

から，特別な理由は（素数）^2−１かもしれないと，冗談交じりでいっているそうです．

　それが本質であれば，最も特別な次元は

　　３＝２^2−１

ということになります．

　ｐ^2−１を計算してみると

　　　　３＝２^2−１

　　　　８＝３^2−１

　　　２４＝５^2−１

　　　４８＝７^2−１＝２・２４

　　１２０＝１１^2−１＝５・２４

　　１６８＝１３^2−１＝７・２４

　　２８８＝１７^2−１＝１２・２４

　　３６０＝１９^2−１＝１５・２４

　　５２８＝２３^2−１＝２２・２４

　　８４０＝２９^2−１＝３５・２４

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　　ｐ^2−１＝（ｐ＋１）（ｐ−１）

ｐ＞２のとき，（ｐ＋１），（ｐ−１）はともに偶数．

また，ｐ＞３のとき，ｐ＝３ｋ±１（ｋは偶数）と書くことができるので，

　　ｐ＝３ｋ＋１→ｐ＋１＝３ｋ＋２，ｐ−１＝３ｋ

　　ｐ＝３ｋ−１→ｐ＋１＝３ｋ，ｐ−１＝３ｋ−２

あるいは，

　　ｐ^2−１＝９ｋ^2±６ｋ＝３ｋ（３ｋ±２）

　　ｋ，（３ｋ±２）とも偶数

であるから，ｐ^2−１は１２の倍数となる．

　さらに，ｐ＞３のとき，ｐ＝６ｋ±１と書くことができるので，

　　ｐ^2−１＝３６ｋ^2±１２ｋ＝１２ｋ（３ｋ±１）

　　ｋ，（３ｋ±１）の少なくても一方は偶数であるから，ｐ^2−１は２４の倍数となる．

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　以上より，ｐ＞３のとき

　　ｐ^2−１＝２４ｋ＝ｋ（２^2−１）（３^2−１）

　　　　３＝２^2−１

　　　　８＝３^2−１

　　　２４＝５^2−１＝（２^2−１）（３^2−１）

　　　４８＝７^2−１＝２（２^2−１）（３^2−１）

　　１２０＝１１^2−１＝５（２^2−１）（３^2−１）

　　１６８＝１３^2−１＝７（２^2−１）（３^2−１）

　　２８８＝１７^2−１＝４（２^2−１）^2（３^2−１）

　　３６０＝１９^2−１＝５（２^2−１）^2（３^2−１）

　　５２８＝２３^2−１＝２２（２^2−１）（３^2−１）

　　８４０＝２９^2−１＝３５（２^2−１）（３^2−１）

　ｋがΠ（ｐi^2−１）の形に表されることはあると思われる．確かめてみよう．１５＝４^2−１，３５＝６^2−１であるが，ｐ^2−１の形ではない．続行．

　　９６０＝３１^2−１＝５（２^2−１）（３^2−１）^2

　１３６８＝３７^2−１＝５７（２^2−１）（３^2−１）

　１６８０＝４１^2−１＝７０（２^2−１）（３^2−１）

　１８４８＝４３^2−１＝７７（２^2−１）（３^2−１）

　２２０８＝４７^2−１＝９２（２^2−１）（３^2−１）

　２８０８＝５３^2−１＝１３（２^2−１）^3（３^2−１）

　３４８０＝５９^2−１＝１４５（２^2−１）（３^2−１）

　３７２０＝６１^2−１＝１５５（２^2−１）（３^2−１）

　４４８８＝６７^2−１＝１８７（２^2−１）（３^2−１）

　５０４０＝７１^2−１＝７０（２^2−１）^2（３^2−１）

　５３２８＝７３^2−１＝１１１（２^2−１）^2（３^2−１）

　６２４０＝７９^2−１＝２６０（２^2−１）（３^2−１）

　６８８８＝８３^2−１＝２８７（２^2−１）（３^2−１）

　７９２０＝８９^2−１＝１１０（２^2−１）^2（３^2−１）

　９４０８＝９７^2−１＝４９（２^2−１）（３^2−１）^2

１０２００＝１０１^2−１＝４２５（２^2−１）（３^2−１）

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　（ｐi^2−１）を因数とみなして素因数分解したい．たとえば，

　　ｐ^2−１＝（２^2−１）（３^2−１）（５^2−１）＝３・８・２４＝２４^2

　　ｐ^2＝２４^2＋１＞２４^2

いまのところ，そのような素数ｐは見つかっていない．

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