ピックの公式を拡張したものがリーブの公式である．穴がない場合に図形を切ると２つの部分に分かれるが，穴がひとつの場合は切れ目を２箇所に，穴が二つの場合は切れ目を３箇所に入れなければ図形を２つの部分に分けることはできない．
リーブの論文：
Reeve, JE: On the volume of lattice polyhedra, Proceedings of the London Mathematical Society (3rd series), 7, 378-95, 1957
では，式を３次元に場合に拡張するためには図形に空いた穴の個数を考慮しなければならないことを出発点にして議論されている．
面積（体積）を求めるのトポロジーの定理が必要とされるというのは奇妙なことと感じられる．今回のコラムではリーブの論文の一部を抜粋して紹介する．
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【１】ピックからリーブへ
まず最初に，ピックの公式
Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１
Ａ：格子多角形の面積
Ｉ：内部の点の個数
Ｂ：境界線上の点の個数
をリーブ流にアレンジしたい．
Ａ＝（Ｉ＋Ｂ）−Ｂ／２−１
図形ωの境界を∂ω，すなわち，中身を含まない表面を表し，整数格子点の数をＬ1（・）をすると，ピックの公式は
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
と表される．ここで，ωには中身に加えて表面∂ωも繰り込まれていることに注意されたい．
さらにこの式を一般化する．オイラー・ポアンカレ標数をχ（・）とすると，ピックの公式：
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
の一般形は
Ａ（ω）＝｛Ｌ1（ω）＋χ（ω）｝−｛Ｌ1（∂ω）＋χ（∂ω）｝／２
で表されるというものである．
ｍ次元複体ωのｋ次元面の個数をαkと表すとき，オイラー・ポアンカレ標数は，単体の個数の交代和
χ（ω）＝Σ(0,k)(-1)^kαk
で定義されるが，リーブの論文中の定義は
χ（ω）＝Σ(0,k)(-1)^(k+1)αk
となっているため，
χ（ω）＝−ｆ＝−１，χ（∂ω）＝−（ｖ−ｅ）＝０
したがって，穴のない場合は
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
というわけである．
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【２】リーブの公式
３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，
内部の格子点数＝０
面上の格子点数＝４
辺上の格子点数＝４
を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．
しかし，半整数格子Ｌ2を導入すれば体積を求めることができるというのが，リーブの定理である．
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）＋χ（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）＋χ（∂ω）｝
凸格子点多面体の場合は，
χ（ω）＝−ｃ＝−１，χ（∂ω）＝−（ｖ−ｅ＋ｆ）＝−２
より
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）｝
当該の三角錐の場合
Ｌ1（ω）＝４，Ｌ1（∂ω）＝４
Ｌ2（ω）＝２ｚ−１＋１０，Ｌ2（∂ω）＝１０
より
Ｖ（ω）＝ｚ／６
縦ａ，横ｂ，奥行きｃ，体積ａｂｃの直方体の場合は
Ｌ1（ω）＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）
Ｌ1（∂ω）＝２（ａ＋１）（ｂ＋１）＋２ｃ（ａ＋１）＋２（ｂ−１）（ｃ−１）
Ｌ2（ω）＝（２ａ＋１）（２ｂ＋１）（２ｃ＋１）
Ｌ2（∂ω）＝２（２ａ＋１）（２ｂ＋１）＋４ｃ（２ａ＋１）ｃ＋２（２ｂ−１）（２ｃ−１）
より
Ｖ（ω）＝ａｂｃ
なお，ここで，
Ｌ2（∂ω）−４Ｌ1（∂ω）＝−６
が成り立っている．
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【３】リーブの公式（その２）
半整数格子Ｌ2を導入した場合は
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）｝
であるが，リーブはｎ分整数格子Ｌn（ｎ＝２，３，５，７，・・・）を導入するとき
２（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）Ｖ（ω）＝２｛Ｌn（ω）−ｎＬ1（ω）｝−｛Ｌn（∂ω）−ｎＬ1（∂ω）｝
Ｌn（∂ω）−ｎ^2Ｌ1（∂ω）＝２（１−ｎ^2）
となることも示している．
また，リーブはより高次元に拡張した式も予想している．４次元の場合は半整数格子Ｌ2に加え，３分整数格子Ｌ3を導入して
７２Ｖ（ω）＝２｛３Ｌ（ω）−３Ｌ2（ω）＋Ｌ3（ω）＋χ（ω）｝−｛３Ｌ（∂ω）−３Ｌ2（∂ω）＋Ｌ3（∂ω）＋χ（∂ω）｝
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【補】オイラーの多面体定理
凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ−ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．
量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，
頂点の数−辺の数＋３角形の数
は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２−２ｇとなることはよく知られています．
二次元における正多角形，三次元における正多面体と同じ概念が四次元における正多胞体で，正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類あります．胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，
ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０
というオイラーの定理が成り立っています．
ところで，線分と三角形および四面体はそれぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形です（単体：シンプレックス）．線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち，その内部は１次元です．三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち，その内部は２次元です．四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち，その内部は３次元です．これらの数をまとめて書くと
２，１
３，３，１
４，６，４，１
ですが，これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています．これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１，すなわち５つの頂点と１０辺，１０面，５面，５胞（正５胞体）になります．
これより，ｎ次元単体についてはｖ＝n+1Ｃ1，ｅ＝n+1Ｃ2，ｆ＝n+1Ｃ3，ｃ＝n+1Ｃ4，・・・ですから，
ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・＝１±１
したがって，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることが理解されます．
オイラーの多面体定理（単体分割の個数の交代和：ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・）を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理で，オイラー数はベッチ数の交代和
Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・
に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容です．
ベッチ数とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，１次独立なｑ次元サイクルの個数，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです．
単体分割の個数はベッチ数に比べてはるかに大きい数ですから，単体分割の仕方を複雑にするほどオイラー標数
ｖ−ｅ＋ｆ−ｇ＋ｈ−ｉ＋・・・
を実際に計算するのは面倒になりますが，ベッチ数の交代和
Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・
に基づくと，オイラー標数を効率よく計算することができます．
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