1770年、ラグランジュはすべての自然数ｎは４つの平方数の和として書けることを示した

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４つの平方数の和で、ｎを表す方法の数をs(n)とする。ただし、０や負数も許し、異なる和の順序も数えることにする。

1^2+3^2+4^2+2^2=30

3^2+4^2+1^2+2^2=30

1^2+(-3)^2+4^2+2^2=30

0^2+1^2+2^2+5^2=30

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s(n)はnの、４の倍数でないすべての約数の和を８倍したものに等しい。

12の約数は1,2,3,4,6であるから

s(12)=8(1+2+3+6)＝96

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r4(n)=Σd

その生成関数はモジュラー形式の理論を用いて説明される

f(z)=Σr4(n)exp(2πinz)

はテータ関数である。

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