■連分数の測度論（その６）
ｐ（ｋ）＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ）−ｌｏｇ2（１＋１／（ｋ＋１））
＝ｌｏｇ2（１＋１／ｋ（ｋ＋２））
で思い出したことがいくつかある．
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【１】ｎと２ｎの間に素数がある
ｎ＜ｐ≦２ｎの間には常に１個の素数がある（１８４５年のベルトラン仮説を１８５０年，チェビシェフが証明した）ことを直接，素数定理から漸近表現を求めると
π（２ｘ）−π（ｘ）〜２ｘ／ｌｎ（２ｘ）−ｘ／ｌｎ（ｘ）
〜２ｘ／（ｌｎｘ＋ｌｎ２）−ｘ／ｌｎｘ
〜（２ｘｌｎｘ−ｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２））／ｌｎｘ（ｌｎｘ＋ｌｎ２）
〜（ｘｌｎｘ−ｘｌｎ２））／（ｌｎｘ）^2（１＋ｌｎ２／ｌｎｘ）
〜（ｘ／ｌｎｘ−ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2）（１−ｌｎ２／ｌｎｘ）
〜ｘ／ｌｎｘ−２ｘｌｎ２／（ｌｎｘ）^2
となる．
あるいは同じことであるが，各素数はその前の素数の２倍より小さい．
ｐk+1＜２ｐk
ｎ番目の素数は
ｐn〜ｎｌｎ（ｎ）
であるから，漸近的に２ｎとｎ^2の間に位置する．したがって，素数は偶数よりは少ないが平方数よりは多い．
もっとよい近似では
ｌｎｘ−３／２＜ｘ／π（ｘ）＜ｌｎｘ−１／２
ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−３／２）＜ｐn＜ｎ（ｌｎ（ｎ）＋ｌｎｌｎ（ｎ）−１／２））
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ベルトランの仮説「ｎと２ｎの間に素数がある」を利用して，タイシンガーの問題
（問） Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ≠整数
に対して，別証を与えてみましょう．
（別証）ｎ未満のｎにもっとも最も近い素数ｐ（＞ｎ／２に必ずある：ベルトラン・チェビシェフの定理「ｎと２ｎの間に素数がある」）を考える．Ｐをｐ未満のすべての素数の積とすると，
ＰＨn＝ｐ（１／１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／ｐ＋・・・＋１／ｎ）
このとき，１／ｐは分母にｐが残り，１／ｐは他に打ち消す項がないので整数になりそうもありません．ｎが素数ならもちろん整数でない．合成数でも奇数の素因子があれば分母に残る．これはおおざっぱですが，これを精密化すれば完全な証明になりそうです．
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【２】オイラーの定数
Ｈn＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ
と定義します．（ｎ＞１ならばＨnは整数にはなりません．）
ｎを無限大にしたとき，調和級数
Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は発散しますが，そのｎ次部分和Ｈnは離散的な世界で連続関数ｌｎｎに対応するものであり，自然対数は双曲線ｙ＝１／ｘの下の面積として定義できます．
したがって，双曲線ｙ＝１／ｘを上と下から棒グラフではさんで近似することにより，ｌｏｇｎとｌｏｇｎ＋１の間に押し込まれまれることがわかります（∵∫１／ｘｄｘ＝ｌｏｇｘ）．したがって，Ｈn とｌｏｇｎの比｛Ｈn ／ｌｏｇｎ｝は
Ｈn ／ｌｏｇｎ→１ （ｎ→∞）
です．
一方，Ｈn とｌｏｇｎの差｛Ｈn −ｌｏｇｎ｝は確定した極限値γに収束します．
Ｈn −ｌｏｇｎ→γ （ｎ→∞：Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋Ｏ（１／ｎ））
Ｈn ＝ｌｏｇｎ＋γ＋ｏ（１）
この極限値はオイラーの定数として知られており，約０．５７７２２になります．オイラーの定数の比較的よい近似値は４／７で，さらによい近似値は４１／７１で与えられます．Ｈn は上限と下限の間の約５８％のところにあることがわかりましたが，今日に至るまで，オイラーの定数の値は有理数とも無理数ともわかっていません．おそらく，超越数なのでしょう．
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以上より，
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ
と近似できることがわかりましたが，より精度を高めたければ
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ＋１／２ｎ
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ＋１／２ｎ−１／１２ｎ（ｎ＋１）
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ＋１／２ｎ−１／１２ｎ（ｎ＋１）−１／１２ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ＋１／２ｎ−１／１２ｎ（ｎ＋１）−１／１２ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）−１９／１２０ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）
といった級数展開が知られています．
（問）Ｐ＝１／１＋１／３＋１／５＋１／７＋・・・＋１／（２ｎ−１）の漸近表現を求めよ．
（答え）
Ｈn〜ｌｏｇｎ＋γ
を利用すると
Ｐ＝（１／１＋１／２＋・・・＋１／２ｎ）−２（１／１＋１／２＋・・・＋１／ｎ）
＝Ｈ2n−２Ｈn＝ｌｏｇ２ｎ−１／２ｌｏｇｎ＋γ／２
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