楕円モジュラー関数

j(z)=exp(-2πiz)+744+196884exp(2πiz)+21493760exp(4πiz)+8642999970exp(6πiz)+・・・

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シュナイダーの定理

→虚２次体でない任意の代数的数zに対してj(z)の値は超越数になる

以下は虚２次体の場合

j(i)=1728=12^3

j(i√2)=8000=20^3

j((1+i√3)/2=0

j((1+i√7)/2=-3375=-15^3

j((1+i√11)/2=-32^3

j((1+i√19)/2=-96^3

j((1+i√43)/2)=-960^3

j((1+i√67)/2)=-5280^3

j((1+i√163)/2)=-640320^3

j(i)=1728,j(ω)=0のようにきわめて超越的な関数が、整数になってしまうのである。

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d=-1,-2,-3,-7,-11,-11,-19,-43,-7,-163

に対応するexp(-2πiτd)の９個の値は順に

2^63^3,2^63^5,0,-3^35^3,-2^15,-2^153^3,

-2^183^35^3,-2^153^35^311^3,-2^183^3^5^323^3^29^3

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