自然数ｎの約数の個数をd(n)とかく。d(1)=1,d(2)=2,d(6)=4,d(72)=12,d(n)≦2√n

Σ1/(2^n-1)=Σd(n)/(2^n)は無理数である。

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Σ1/(2^n-1)=1/1+1/3+1/7+1/15+・・・

Σ1/(2^n)=1/2+1/4+1/8+1/16+・・・→1

Σd(n)/(2^n)=1/2+2/4+2/8+3/16+・・・→?

Σ√(n)/(2^n)=1/2+√2/4+√3/8+2/16+・・・→?

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　ｎ＝Πｐ^eのとき，

　　ｄ（ｎ）＝Π（ｅ＋１），

　　σ（ｎ）＝Π（ｐ^e+1−１）／（ｐ−１）

で与えられる関数の漸近的な振る舞いは，

　　１／ｎ・Σｄ（ｋ）〜ｌｎ（ｎ）＋２γ−１＋Ｏ（１／√ｎ）

　　１／ｎ^2・Σσ（ｋ）〜π^2／１２＋Ｏ（ｌｎ（ｎ）／ｎ）

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　　ｄ（ｎ）＝（ｅ1＋１）（ｅ2＋１）・・・（ｅk＋１）

ｎの素因数分解を構成するために、現在の数の対数と約数の個数の対数がどれだけ増加するかを考える。

現在の分解に素数ｐが指数ｅ-１で現れているとする。もう一つｐを追加するとｐの指数はe-1からeに増える。このとき、

logd(n)はlog{(e+1)/e}だけ増加し、lognはlogpだけ増加する。あるn＞neまで続けると

logd(n)≦logd(ne)+εlog(n/ne)が得られる。logd(n)~o(1)logn

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logd(n)/log2の最大オーダーはlogn/loglognである。

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