数式と戯れる喜びを知っていたラマヌジャンは，平方根が入れ子状に無限に続く

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））

の値を求めよという問題をインド数学会誌に投稿している．

　しかし，この問題に対する読者からの解答は寄せられず，結局答えたのは出題者であるラマヌジャン本人であったとのことである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ラマヌジャンの問題

　ラマヌジャンのクイズの前に，もし，

　　√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））

の値はという問題であれば，

　　ｘ＝√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））

とおくと，

　　√（１＋ａｘ）＝ｘ　→　ｘ^2−ａｘ−１＝０

より，

　　ｘ＝（ａ＋√（ａ^2＋４））／２

を得ることができる．

　ａ＝１のとき，

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

　ｋ＝√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋・・・））））

の場合は，２次方程式の解の公式を使えば，ｍ＝ｋ^2−ｋとすることができる．

　　√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２

　　√（３０＋√（３０＋√（３０＋√（３０＋・・・））））＝６

　２次方程式：ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式は次式で与えられる．

　　ｘ＝（−ｂ±√（ｂ^2−４ａｃ））／２ａ

　根号の中の式を平方数の差とみれば２項に因数分解することができ，以下のようにも表現できる．

　　ｘ＝ｍ2／２ｍ1±｛（ｍ2＋２√ｍ1ｍ3）（ｍ2−２√ｍ1ｍ3）｝^1/2／２ｍ1

　ラマヌジャンは中学時代に

（ａ＋２）^2＝１＋（ａ＋１）（ａ＋３）より，根号の中の式を書き換えて

　　ａ（ａ＋２）＝ａ√（ａ＋２）^2＝ａ√（１＋（ａ＋１）（ａ＋３））

（ａ＋３）^2＝１＋（ａ＋２）（ａ＋４）より

　　ａ（ａ＋２）＝ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）（ａ＋４））

これを繰り返すと

　　ａ（ａ＋２）＝ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）（ａ＋３））＝・・・

を発見した．ここでａ＝１とすると求める値が３であることがわかる．

　ラマヌジャンはさらにより一般的な恒等式

　　ｘ＋ｎ＋ａ＝√（ａｘ＋（ｎ＋ａ）^2＋ｘ√（ａ（ｎ＋ｘ）＋（ｎ＋ａ）^2＋（ｘ＋ｎ）√・・・）））

を発見している．ラマヌジャンのクイズは，ここでｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝０とした場合である．

　　√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３

　また，ｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝１とすると

　　√（６＋２√（７＋３√（８＋４√（９＋・・・））））＝４

になることがわかる．

　　√（１−√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））））＝１／２

　　3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２

もラマヌジャンの式である．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝