１が連続する数を１の反復数（レプユニット）という．

１＝１

１１＝１１（素数）

１１１＝３・３７

１１１１＝１１・１０１

１１１１１＝４１・２７１

１１１１１１＝３・７・１１・１３・３７

１１１１１１１＝２３９・４６４９

１１１１１１１１＝１１・７３・１０１・１３７

１１１１１１１１１＝３・３・３７・３３３６６７

１１１１１１１１１１＝１１・４１・２７１・９０９１

１１１１１１１１１１１＝２１６４９・５１３２３９

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【１】レプユニット型素数

　１０進法表記で１がｎ個並ぶｎ桁のレプユニットは

　　Ｒn＝（１０^n−１）／９

の形に書くことができる．１以外の数，たとえば７がｎ個並ぶ数は７で割れるから素数ではない．１の場合だけが明らかではないのだが，

　Ｒnが素数ならば，ｎは素数でなければならないのであるが，まず，ｎが偶数の場合をみてみよう．

［１］ｎ＝４ｍ＋２の場合

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ2・Ｒ3・９１

　　Ｒ10＝Ｒ2・Ｒ5・９０９１

　　Ｒ14＝Ｒ2・Ｒ7・９０９０９１

　　Ｒ18＝Ｒ2・Ｒ9・９０９０９０９１

あるいは

　　Ｒ2＝１１（素数）

　　Ｒ6＝Ｒ3・１００１

　　Ｒ10＝Ｒ5・１００００１

　　Ｒ14＝Ｒ7・１００００００１

　　Ｒ18＝Ｒ9・１００００００００１

［２］ｎ＝４ｍの場合

　　Ｒ4＝１１・１０１

　　Ｒ8＝１１・１０１・１００１

　　Ｒ12＝１１・１０１・１０００１０００１

　　Ｒ16＝１１１０１・１０００１０００１０００１

［３］ｎが素数の場合

　たとえば，ｎ＝２（１１）は素数である．ｎ＝１３は５３・７９・２６５３７４６５３であるが，ｎ＝１７は２０７１７２３と５３６３２２２３５７の２つの素因数しかもっていないがこれを探すだけでも大変なことである．ｎ＝２９の場合は，３１９１・１６７６３・４３０３７・６２００３・７７８４３８３９３９７となる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［４］ｎがｍの倍数ならばＲnはＲmの倍数である．

［５］Ｒ2nは１１で割り切れ，Ｒ3nは３と３７で割り切れる．

ｎ＝２：１１（素数）

ｎ＝３：３・３７

ｎ＝６：３・７・１１・１３・３７

ｎ＝９：３・３・３７・３３３６６７

ｎ＝１８：３・３・７・１１・１３・１９・３７・５２５７９・３３３６６７

［６］Ｒnが素数ならばｎは素数であるが，逆は成り立たない．

［７］ｎ＝２，１９，２３，３１７，１０３１の場合，Ｒnは素数であることが知られている．素数と思われるが証明されていないレプユニット型素数はｎ＝４９０８１と８６４５３であるが，いまのところ，これ以外のレプユニット型素数は知られておらず，レプユニット型素数がこれ以外にあるのか，また，無限個あるのかどうかは未解決である．

［８］平方数であるレプユニットは１に限るが，立方数であるレプユニットは１以外に存在するかどうかは未解決である．

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