【２】畳の敷き方数の数値計算誤差

　ｍ，ｎが大きくなるとプログラムの数値計算誤差が顕著になってくる．たとえば単精度で計算した場合，２９６８２．５のような値が出てくるが，これでは２９６８２なのか２９６８３なのか，あるいはもっと違った値になるのか判断できないことになる．

　そこで，Ｋ（ｎ×２ｍ）にフィボナッチ数列

　　Ｆn＝ａＦn-1＋ｂＦn-2　　（２項漸化式）

やトリボナッチ数列

　　Ｔn＝ａＴn-1＋ｂＴn-2＋ｃＴn-3　　（３項漸化式）

のような加法的関係，たとえば，

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）＝ａＫ（（ｎ−１）×２ｍ）＋ｂＫ（ｎ×２（ｍ−１））＋ｃＫ（（ｎ−１）×２（ｍ−１））

が成り立てば，Ｋ（ｎ×２ｍ）の値を誤差なく求めることができることになる．

　ｎ＝１の場合，畳の敷き方はただ１通りであるから，

　　Ｋ（１×２ｍ）＝１

　ｎ＝２の場合，

　　Ｋ（２×２ｍ）＝Π(k=1~m)｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

であるから，これはＦ2m（フィボナッチ数列の第２ｍ項）になっていることがわかる．

　　Ｆ2m＝Ｆ2m-1＋Ｆ2m-2

と順次計算することによって

ｍ／ｎ １ ２

６ 1 233

７ 1 610

８ 1 1597

９ 1 4181

１０ 1 10946

が得られる．

　一般に，ｎが偶数のときには

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）＝Ｋ（２ｍ×２（ｎ／２））

という関係が成り立つが，これで得られるＫ（ｎ×２ｍ）はほとんどない．

　ｎ＝３，４，・・・の場合はどうだろうか．

　　Ｋ（３×２ｍ）＝Π(k=1~m)Π(l=1~2)｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／４）＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　　Ｋ（４×２ｍ）＝Π(k=1~m)Π(l=1~2)｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／５）＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　　Ｋ（４×２ｍ）−Ｋ（３×２ｍ）＝１６^mΠ(k=1~m)｛（ｃｏｓ^2（π／５）ｃｏｓ^2（２π／５）−ｃｏｓ^2（π／４）ｃｏｓ^2（２π／４）−（ｃｏｓ^2（π／５）＋ｃｏｓ^2（２π／５）−ｃｏｓ^2（π／４）＋ｃｏｓ^2（２π／４）ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

となって，期待しているような簡単な加法的関係にはなりそうにない．

　　Ｋ（５×２ｍ）＝Π(k=1~m)Π(l=1~3)｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／６）＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　　Ｋ（６×２ｍ）＝Π(k=1~m)Π(l=1~3)｛４ｃｏｓ^2（ｌπ／７）＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　Ｋ（６×２ｍ）−Ｋ（５×２ｍ）ではなおさらである．ｍ＝２，３，４，・・・としても同様であるから，この数列は加法的ではなく，本質的に乗積的関係にあるのであろう．

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