任意に与えられた数ｎが１，１から始まるフィボナッチ数であるための必要十分条件は

　　５ｎ^2＋４または５ｎ^2−４

が平方数であることである．

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［１］必要条件

　　ａ＋ｂ＝ｃ

　　ｂ^2＝ａ・ｃ±１

　　（ｃ−ａ）^2＝ａ・ｃ±ｘ

　　ｃ^2−３ａｃ＋ａ^2±ｘ＝０

　　Ｄ＝９ａ^2−４ａ^2±４＝５ａ^2±４＝ｄ^2→すなわち，５ｎ^2＋４または５ｎ^2−４が平方数であること

［２］十分条件

　　ｃ＝（３ａ±ｄ）／２

　　ａが偶数のとき，３ａもｄも偶数→ｃは整数となる

　　ａが奇数のとき，３ａもｄも奇数→ｃは整数となる

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［３］ｎと２ｎの間にあるフィボナッチ数は１個か２個である．桁数が同じフィボナッチ数は（１桁を除き）４個か５個である．

［４］ソ連のマチアセヴィッチは，フィボナッチ数を使って与えられた不定方程式が有理数解をもつかどうかを有限回の手続きで判定するアルゴリズムは存在しないことを証明した．

［５］１４４は１以外の唯一の平方フィボナッチ数である．

［６］８は１以外の唯一の立方フィボナッチ数である．

［７］１以外のフィボナッチ数かつ三角数は３，２１，５５しかない．

［８］フィボナッチ数８９の逆数は，フィボナッチ数を生み出す．（その７）参照．

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