ハーディ・ラマヌジャンの定理

p(n)〜1/4n√3・exp(c√n)

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今回のコラムではこれよりももっと粗いp(n)の上界

　　p(n)＜exp(3√n)

を示すことにしましょう．

　分割関数の母関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

の対数をとると

　　lnf(x)=-ln(1-x)-ln(1-x^2)-ln(1-x^3)-･･･

=(x+x^2/2+x^3/3+･･･)+(x^2+x^4/2+x^6/3+･･･)+(x^3+x^6/2+x^9/3+･･･)+･･･

=(x+x^2+x^3+･･･)+(x^2+x^4+x^6+･･･)/2+(x^3+x^6+x^9+･･･)/3+･･･

=x/(1-x)+x^2/(1-x^2)/2+x^3/(1-x^3)/3+･･･

　ここで，x^n/(1-x^n)　　lnf(x)=x/(1-x){1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2x/(1-x)

lnp(n)

ここで，x=(n+√n)/n+3√n)とおくと，p(n)＜exp(3√n)

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