分割数p(n)の母関数は

Σp(n)x^n=1/(1-x)・1/(1-x^2)・1/(1-x^3)・・・=(1+x+x^2+x^3+・・・)(1+x^2+x^4+x^6+・・・)(1+x^3+x^6+x^9+・・・)

で与えられる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

1を含まないようなｎの分割の総数はp1(n)=p(n)-p(n-1)である。

Σp1(n)x^n=Π(2)1/(1-x^k)

Σp(n)x^n=Π(0)1/(1-x^k)より

Σp1(n)x^n=(1-x)Σp(n)x^n

p1(n)=p(n)-p(n-1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

Π(1-x^k)=Σ(-1)^kx^{k(3k-1)/2}=1+Σ(-1)^kx^{k(3k-1)/2+k(3k+1)/2}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+P(n-12)・・・

=Σ(-1)^k+1{P(n-k(3k-1)/2)+p(n-k(3k+1)/2)}

ここでkは約√(2n/3)個の値をとる。n〜3k^2/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

c=π√(2/3)~2.565として

p(n)≦exp(c√n)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ハーディ・ラマヌジャンの定理

p(n)〜1/4n√3・exp(c√n)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝