0＜r＜1なるすべての有理数は有限個の相異なる自然数の逆数の和である。

たとえば、4699/7320=1/2+1/8+1/60+1/3660

r≧1/n1, n1≧2を満たす最小の自然数をn1

r≧1/n1+1/n2を満たす最小の自然数をn2

r≧1/n1+1/n2+1/n3を満たす最小の自然数をn3・・・を続ける

この構成法において、

1/(ni-1)＞1/ni+1/ni+1でなければならない。そうでなければniを(ni-1)にすることができるからである。

すると、ni+1≧ni(ni-1)+1となる。

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ni+1=ni(ni-1)+1

1/ni=1/(n1-1)-1/(ni+1+1)

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un+1≧un^2-un+1で定義される数列を考える。

このとき、無限級数

r=Σ1/ni

が有理数となるのは、有限個を除くすべてのiに対して、un+1=un^2-un+1となるとき、かつ、そのときに限る。

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