三角形ＡＢＣの各辺を１：λの比に順次内分した点Ｄ，Ｅ，Ｆとし，ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作る三角形ＰＱＲを仮に「縮小三角形」と呼ぶことにする．

　２０１２年のコラム「正三角形の縮小三角形」の掲げた問題は以下のようなものである．

［Ｑ］正三角形の縮小三角形は正三角形である．

　　λ＝ＣＤ／ＤＢ＝ＡＥ／ＥＣ＝ＳＦ／ＦＡ

ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの２本ずつの交点が作るＰ，Ｑ，Ｒの内分比を１：κとすると

　　κ＝ＥＰ／ＰＢ＝λ^2／（１＋λ）

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【１】証明

　相似比を使って解ける．

　　ＢＥ^2＝１^2＋１／（１＋λ）^2−２・１・１／（１＋λ）ｃｏｓ６０°＝１−１／（１＋λ）＋１／（１＋λ）^2

　△ＢＣＭと△ＢＰＤは相似であるから，

　　ＢＰ＝１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＱＥ＝１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＰＱ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ−１／（１＋λ）^2／ＢＥ

　　ＥＰ＝ＢＥ−１／（１＋λ）／ＢＥ

　　ＥＰ／ＰＢ＝（１＋λ）ＢＥ^2−１＝λ^2／（１＋λ）

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【２】一般化

　正三角形の縮小三角形は正三角形であるから簡単に解けたが，一般の三角形の場合には成り立たないのだろうか？

　たとえば，λ＝１（中線）のとき，ＱＬ／ＬＢ＝１／２（重心）というわけである．これが成り立つとすると，縮小三角形の問題

［Ｑ］縮小三角形がもとの三角形と相似になることがあるか？　あるとすればどのような場合か？

は（重心座標を用いずとも）ベクトルで解けると思われる．２０１３年の同シリーズでは

　ａ＝ＢＣ，ｂ＝ＣＡ，ｃ＝ＡＢとする．

　　ＡＰ＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ）

　　ＢＱ＝（λａ−ｃ）／（１＋λ）

　　ＣＲ＝（λｂ−ａ）／（１＋λ）

　　ＡＮ＝ＡＰ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λｃ−ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＢＬ＝ＢＱ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λａ−ｃ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＣＭ＝ＣＲ・（１＋λ）／（１＋λ＋λ^2）＝（λｂ−ａ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＬＭ＝ＬＢ＋ａ＋ＣＭ＝（λ（ｂ−ａ）−ａ＋ｃ）／（１＋λ＋λ^2）＋ａ＝（λ^2ａ＋λｂ＋ｃ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＭＮ＝ＭＣ＋ｂ＋ＡＮ＝（λ（ｃ−ｂ）−ｂ＋ａ）／（１＋λ＋λ^2）＋ｂ＝（λ^2ｂ＋λｃ＋ａ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＮＬ＝ＮＡ＋ｃ＋ＢＬ＝（λ（ａ−ｃ）−ｃ＋ｂ）／（１＋λ＋λ^2）＋ｃ＝（λ^2ｃ＋λａ＋ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　これらのノルムがａ，ｂ，ｃに比例する．同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ＬＭ：ＭＮ：ＮＬ＝ａ：ｂ：ｃ

　裏返しに相似なとき，

　　ＬＭ：ＭＮ：ＮＬ＝ａ：ｃ：ｂ

　ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，これらを解くと相似条件式は

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

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　　ＬＭ＝（λ^2ａ＋λｂ＋ｃ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＭＮ＝（λ^2ｂ＋λｃ＋ａ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＮＬ＝（λ^2ｃ＋λａ＋ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

ａ＋ｂ＋ｃ＝０より，

　　ＬＭ＝（（λ^2−１）ａ＋（λ−１）ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＬＭ＝（（λ＋１）ａ＋ｂ）（λ−１）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＭＮ＝−（（λ−１）ａ−（λ^2−λ）ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＭＮ＝−（ａ−λｂ）（λ−１）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＮＬ＝−（（λ^2−λ）ａ＋（λ^2−１）ｂ）／（１＋λ＋λ^2）

　　ＮＬ＝−（λａ＋（λ＋１）ｂ）（λ−１）／（１＋λ＋λ^2）

　したがって，　縮小三角形がもとの三角形と相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

である．したがって，ＬＭ^2，ＭＮ^2，ＮＬ^2は

　　ａ^2，ｂ^2，ｃ^2／（λ^2＋λ＋１）

のいずれかに等しくなる．すなわち，

　　（ａ^2，ｂ^2，ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）

のいずれかに等しくなる．

　この形で方程式を作るが，同じ向きに相似なとき，それぞれの辺が最も近い辺に比例すると仮定すると

　　ｃ^2＝ａ^2＋２ａ・ｂ＋ｂ^2，２ａ・ｂ＝ｃ^2−ａ^2−ｂ^2

より

　　（λ＋１）^2ａ^2＋ｂ^2＋２（λ＋１）ａ・ｂ＝ｃ^2（λ^2＋λ＋１）

　　λ（λ＋１）ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝ｃ^2（λ^2＋λ＋１）

　　ａ^2＋λ^2ｂ^2−２λａ・ｂ＝ａ^2（λ^2＋λ＋１）

　　（λ＋１）ａ^2＋λ（λ＋１）ｂ^2−λｃ^2＝ａ^2（λ^2＋λ＋１）

　　λ^2ａ^2＋（λ＋１）^2ｂ^2＋２λ（λ＋１）ａ・ｂ＝ｂ^2（λ^2＋λ＋１）

　　−λａ^2＋（λ＋１）ｂ^2＋λ（λ＋１）ｃ^2＝ｂ^2（λ^2＋λ＋１）

→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

　　（λ＋１）ａ^2−ｂ^2−λｃ^2＝０

　−λａ^2＋（λ＋１）ｂ^2−ｃ^2＝０

３式を加えると，両辺とも同じ（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（λ^2＋λ＋１）になるので，この３式は独立ではなく，ａ＝ｂ＝ｃを得る．

　右辺を巡回置換してもいずれも同様に計算してａ＝ｂ＝ｃに達する．すなわち自明な正三角形の場合以外にはあり得ない．

　裏返しに相似なとき，上述のＬＭ^2，ＭＮ^2，ＮＬ^2の式はそのままにして，第２式，第３式の右辺のｂ^2，ｃ^2を入れ換える．

第１式→−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

第２式は右辺がｃ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

となるが，これは第１式と同値である．

第３式は右辺がｂ^2（λ^2＋λ＋１）であるから，整理すると

　　−ａ^2−λｂ^2＋（λ＋１）ｃ^2＝０

となって，これも第１式と同値である．

　すなわち，この場合には相似条件式が同一の条件

　　ａ^2＋λｂ^2−（λ＋１）ｃ^2＝０

になる．もちろんａ＝ｂ＝ｃはこれを満足するが，それ以外にも多数の解がある．そしてそれが必要十分条件であり，実際に縮小三角形がもとの三角形と裏返しに相似になる．

例：λ＝２のとき，ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝√３（正三角形の半分）

同様にａ，ｂ，ｃを巡回置換すれば

　　−（λ＋１）ａ^2＋ｂ^2＋λｃ^2＝０

　　λａ^2−（λ＋１）ｂ^2＋λｃ^2＝０

という場合が生ずるが，これは単にａ，ｂ，ｃの順序を変えた（三角形を回した）ものにすぎない．

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【雑感】重心座標を用いないで，ベクトルで解く場合，縮小三角形がもとの三角形と相似とすると，面積の関係から長さの相似比は

　　（λ−１）／√（λ^2＋λ＋１）

であることを示すのが結構大変である．

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