n以下のすべての素数の積を

　　Π(n)=p#

で表す。このとき、

　　Π(n)≦２^2n-3

ｎ≧9ならば、Π(n)≦4^n/ｎ

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Π(2m)＝Π(2m-1)

(2m-1,m)はｍ＜ｐ≦2m-1と満たすすべての素数で割り切れるので、

Π(2m-1)/Π(m)≦(2m-1,m)=(2m-1,m-1)=1/2・(2m,m)

1/2・(2m,m)＜0.3/(m+1/2)^1/2・4^m＜4^(m-1)

Π(2m-1)＜Π(m)4^(m-1)＜4^(2m-1)

(2m,m)＜2^(2m-1)

(2m+2,m+1)/(2m,m)=2(2m+1,m)/(2m,m)=2(2m+1)/((m+1)＜4

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n=2m-1とすることができ、このとき、Π(2m-1)≦1/2・(2m,m)Π(m) ＜0.3/(m+1/2)^1/2・4^m/ｍ＜4^(2m-1)/(2m-1)=4^n/ｎ

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