【１】カルダノ変換＝平行移動

　２次方程式：

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０

の根の公式：

　　ｘ＝（−ｂ±√Ｄ）／２ａ，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ

は紀元前二千年頃のバビロニアで求められています．

　Ｄは２次方程式の判別式ですが，

　　ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝ａ｛（ｘ＋ｂ／２ａ）^2−Ｄ／４ａ^2｝

ここで，ｘ＋ｂ／２ａ＝ｕ，Ｄ／４ａ^2＝ｖ^2とおいて，完全平方式＝定数という形の方程式を作り，

　　ｕ^2−ｖ^2＝（ｕ＋ｖ）（ｕ−ｖ）

を適用して上記の根の公式を得ているというわけです．

　すなわち，

　　ｘ＋ｂ／２ａ＝ｕ

では２根の平均が０になるように平行移動したということができる．

　３次方程式：

　　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝０

の場合は，２次方程式のようにな完全立方式＝定数の形にすることは難しそうですが，ｘ^2の項の係数はｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａと変数変換（カルダノ変換）することによって簡単に消すことができます．

　　ａｘ^3＋ｂｘ^2＋ｃｘ＋ｄ＝ａ｛（ｘ＋ｂ／３ａ）^3＋ｐ（ｘ＋ｂ／３ａ）＋ｑ｝

ここで，

　　ｐ＝（３ａｃ−ｂ^2）／３ａ^2，

　　ｑ＝（２ｂ^3−９ａｂｃ＋２７ａ^2）／２７ａ^3，

　　ｕ＝ｘ＋ｂ／３ａ

とおけば，

　　ｕ^3＋ｐｕ＋ｑ＝０

となり，ｕについては２次の項がなく，３次，１次，定数項が残りますから，因数分解の公式

　　ａ^3＋ｂ^3＋ｃ^3−３ａｂｃ

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ）

　＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）

が使えそうです．

　　ｘ’＝ｘ＋ｂ／３ａ

では２根の平均が０になるように平行移動（あるいは立方完成）したということができる．

　引き続いて，４次方程式：

　　ａｘ^4＋ｂｘ^3＋ｃｘ^2＋ｄｘ＋ｅ＝０

では，ｘ＝ｕ−ｂ／４ａとおいて，４根の平均が０になるように平行移動する．

　　ｕ^4＋ｐｕ^2＋ｑｕ＋ｒ＝０

　　ｐ＝（８ａｃ−３ｂ^2）／８ａ^2

　　ｑ＝（ｂ^3−４ａｂｃ＋８ａ^2ｄ）／８ａ^3

　　ｒ＝（−３ｂ^4＋１６ａｂ^2ｃ−６４ａ^2ｂｃ＋２５６ａ^3ｅ）／２５６ａ^4

というように３次の項を欠いたｕに関する４次方程式が得られます．カルダノ変換によって，まず３次の項を消すのです．

　一般に，ｎ次方程式：

　　ａnｘ^n＋ａn-1ｘ^(n-1)＋・・・＋ ａ1ｘ＋ａ0＝０

に対してｘ’＝ｘ＋ａn-1 ／ｎａn と変換（カルダノ変換）するとｘ^(n-1)の項が０である方程式に還元できます．３次方程式では２次の項，４次方程式では３次の項を欠いた方程式に変形しましたが，ではもっと低次の項の係数を０にできないか？と考えるのは自然な発想でしょう．

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