負の値をとらない1変数実係数多項式は、必ず２つの平方和としてあらわすことができる。

x^4+6x^3+2x^2-34x+41=(x^2+3x-4)^2+(x-5)^2

f=g^2+h^2

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

しかし、この結果は２変数多項式へと拡張することができない。

ヒルベルトはこのことを証明したのだが、その具体例を示したわけではなかった。

モツキンがその反例を構成した。

1-3x^2y^2+x^2y^4+x^2y^2

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0＜c≦3に対して、f(x,y)=1-cx^2y^2+x^4y^2+x^2y^4は平方の和にならないと主張する

実際、算術平均・幾何平均の不等式により

(1+x^4y^2+x^2y^4)/3≧x^2y^2

となるので、f≧0である

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