【１】有理曲線

　曲線上の有理点全体を１つの変数の有理式として表すことのできる曲線を有理曲線といいます．楕円曲線は有理曲線でないことが知られています．

（２次曲線）

　原点を中心とする半径１の円：ｘ^2＋ｙ^2＝１の円周上のひとつの有理点が（０，１）です．この点を通る直線ｙ＝ｍｘ＋１と単位円との交点は，代入して因数分解すれば

ｘ^2＋（ｍｘ＋１）^2＝１

ｘ（（１＋ｍ^2）ｘ＋２ｍ）＝０

より

ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），ｙ＝ｍｘ＋１＝（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

と表すことができます．これによって，円周上の点（ｘ，ｙ）が有理点であるためには，ｍが有理数であることが必要十分条件であることがわかります．すなわち，単位円上のすべての有理点は，ｍの関数

ｘ＝（２ｍ）／（１＋ｍ^2），ｙ＝±（１−ｍ^2）／（１＋ｍ^2）

で表すことができます．

　ｘ^2＋ｙ^2＝２（半径√２の円）において（１，１）は有理点で，この点を通る直線の方程式

ｙ−１＝ｍ（ｘ−１）を（ｘ^2−１）＋（ｙ^2−１）＝０に代入して因数分解すると

ｘ＝（ｍ^2−２ｍ−１）／（ｍ^2＋１）

ｙ＝（−ｍ^2−２ｍ＋１）／（ｍ^2＋１）

が得られます．ｍ＝∞に対応する（１，−１）も有理点です．

　このように，円の有理点全体は１つの変数ｍによって一意化できますが，円ばかりではなく，現在では２次曲線に１つでも有理点があると実は無限に有理点があることがわかっています．２次曲線は有理点を無限のもつか，１つももたないかのどちらかであって，たとえば，ｘ^2＋ｙ^2＝３（半径√３の円）の上には有理点は１つも存在しません．このことは，互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れないということからわかります．

（３次曲線）

　デカルトの正葉線：ｘ^3−３ａｘｙ＋ｙ^3＝０（ａ＞０）

はｘ＋ｙ＋ａ＝０を漸近線とする３次曲線ですが，原点（０，０）が有理点ですから，ｙ＝ｍｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

ｘ＝３ａｍ／（１＋ｍ^3），ｙ＝３ａｍ^2／（１＋ｍ3 ）

　この３次曲線は重根をもち，原点（０，０）が特異点になります．そのため，この曲線上のすべての有理点を，このようにパラメトライズすることができました．一般に，ｆ（ｘ，ｙ）＝０が３次式のとき，その曲線上に特異点と呼ばれる点が存在するかどうかで，曲線のもつ性質が大きく異なってきます．ワイエルシュトラス形式の特異点は有理点であり，曲線上に特異点があれば，適当なパラメータｍによりｘ，ｙはｍの多項式として表されます．そして，ｘとｙがｍの有理式として表されるとき，有理曲線となり，２次曲線とよく似た性質をもちます．

（楕円曲線の場合）

　一方，特異点がなければ，楕円曲線と呼ばれる非有理曲線で２次曲線とは本質的に異なってきます．２次曲線はすべて有理曲線ですが，３次曲線が異なる３根をもつ有理係数の多項式の場合は，有理勾配の方法によるパラメトライズは有効には働きません．すなわち，楕円曲線は有理曲線でないため有理関数で表わすことはできませんが，楕円関数でパラメトライズすることは可能です．

　とはいっても，楕円曲線上に有理点が無限個のっていたり，有限個であったり，あるい全くなかったりすることは図をいくらにらんでもわからない問題です．少し挑戦してみると分かるのですが，これらを証明するのはほとんど不可能に見えるほど難しい問題です．また，ａ^p＋ｂ^p＝ｃ^pを満たすような楕円曲線：

　　ｙ^2＝ｘ（ｘ＋ａ^p）（ｘ−ｂ^p）

が保型関数によってパラメトライズできないことの証明がフェルマーの最終定理の証明に繋がるのですが，これ以上はかなりこみいった話になるので追求しないでおきましょう．（楕円曲線の有理点の有無ではなく，楕円曲線そのものが存在しないことを示すのである．）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝