[Q]素数p≧3に対して、p^m=r^n+1に整数解はない

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[A]r^n-1=p^mと仮定する

（その７）より、r≠2→r≧3である。

qはnの素因数ならば(r^n/q)^q-1=p^m,nは素数としてよいことになる

(r-1)、(1+r+r^2+・・・+r^n-1)はｐのベキ乗

r=p^s+1

(1+r+r^2+・・・+r^n-1)はｐのベキ乗であるばかりではなく、p^sを法としてnと合同。n=0 (mod p)

このとき、n=p、(1+r+r^2+・・・+r^n-1)=p^(m-s)

すなわち、m-s≧2,p=p^{m-s} (mod p^s)→s=1,r=p+1,n=p

r^n-1=p^mに代入すると(p+1)^p-1=p^m

しかし、ｐ≧3に対して、p^p＜(ｐ+1)^p-1＜p^(p+1)となって、(ｐ+1)^p-1はｐのベキ乗ではないので矛盾が生ずる。

(1+1/p)^p＜e＜p

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