[Q]2^m=r^n+1に整数解はない

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[A]r^n=2^m-1と仮定する

nが偶数のとき、自明。(rは奇数なので、４を法として、r^n=1、2^m-1＝-1)

n≧3の奇数のとき、解があるとするとr=2^k・q-1,k≧1,qは奇数

このとき、r=2^k・q・n-1 (mod 2k+1)なので2^k+1は2^m-2^k・q・nを割り切る

すなわち、2^{m-(k+1)}-1/2は整数である。するとm=k

r=2^m・q-1≧(2^m-1)

2^m-1=r^n≧(2^m-1)^n≧(2^m-1)^3≧(2^m-1)となって、矛盾が生ずる。

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