[Q]2^m=r^n-1の整数解は(m,r,n)=(3,3,2)すなわち2^3=3^2-1だけである

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[A]r^n=3^m+1において、nが偶数のとき、

r^2k-1=(r^k+1)(r^k-1)-1=2^m．

(r^k+1)と(r^k-1)はともに２のべき乗で、その差は2である。

(r^k-1)=2→r=3,n=2k=2,m=3

n≧3の奇数のとき、解があるとするとr=1+2^k・qでなければならない。

このとき、r=1+2^k・q・n (mod 2^k+1)なので2m=2^k・q・n (mod 2^k+1)

qnが奇数であることから、2^{m-(k+1)}-1/2は整数

m=k,r=1+2^m・q≧1+2^m

1+2^m=r^n≧(1+2^m)^n≧(1+2^m)^3≧(1+2^m)となって、矛盾が生ずる。

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