コラッツ予想は

　　２^n＝３ｍ＋１

を問うものであったが，ここでは

　　２^n＝３^m−１

考える．

　カタラン予想と関係したこの方程式には

　　（ｎ，ｍ）＝（１，１），（３，２）

以外の整数解をもたないことが知られている．

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　　３^n＝２^m−１

では，（ｎ，ｍ）＝（１，２）は唯一の解である．

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m,n≧2かつ3^m-2^n=+/-1

[1]3^m-2^n=-1ならば2^n=1(mod3)→nは偶数

3^m=2^2k-1=(2^k+1)(2^k-1)

2^k-1=3^m',2^k+1=3^(m-m')

差をとれば2=3^m'(3^(m-m')-1),m'=0,k=1,n=2,m=1→仮定に反する

[2]3^m-2^n=1

n=2の場合は不可能であるからn≧3と仮定する→3^m=1(mod8)→mは偶数

2^n=3^2k-1=(2^k+1)(2^k-1)

3^k-1=2^n',3^k+1=2^(n-n')

差をとれば2=2^n'(2^(n-n')-1),n'=1,n=2n'+1=3, m=2

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[Q]2のベキ乗と3のベキ乗の差が1になるのは2と3，4と3，8と9だけである。

[A]n≦2に対する方程式3^m=2^n+/-1の解は(m,n)=(1,1),(1,2)は明らかなので、示すべきはn≧3に対する方程式3^m=2^n+/-1の解が(m,n)=(2,3)だけということである。

8を法とする2のベキ乗の列は2,4,8,・・・→2,4,0,0,0,・・・

8を法とする3のベキ乗の列は3,9,27,・・・→3,1,3,1,3,・・・

したがって、3^m=2^n+/-1かつn≧3ならば、m≧2は偶数なので、mは8を法として１と合同なので3^m=2^n+1である。

しかし、m=2k≧2が偶数ならば

3^m-1=3^2k-1=(3^k+1)(3^k-1)=2^n

(3^k+1)と(3^k-1)はともに2のベキ乗で、その差は2である。

すると(3^k+1)=4と(3^k-1)＝2となって、(m,n)=(2,3)→3^2=2^3+1が得られる

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