x1^2+x2^2+・・・+xn^2=ax1x2・・・xnについては

a＞nのとき、解は存在しない

a=nのとき、すべての整数解は(1,1,・・・,1)から生成される。

1≦a≦nのとき、任意のaに対して、解の有限集合が存在してほかのすべての解を生成する

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=2の場合を考えてみよう

x^2+y^2=axy

[1]a=2のとき

(x-y)^2=0,x=y,→無限個の解

[2]a＞2のとき

x={ay+/-{(ay)^2-4y^2}^1/2}/2

(a^2-4)=(a+2)(a-2)=N^2

でなければならないから、N=a-1,a,a+1のいずれか

(a^2-4)=a^2-2a+1→2a=3 (NG)

(a^2-4)=a^2+2a+1→2a=-3 (NG)

(a^2-4)=a^2 (NG)

[3]a=1のとき

x^2+y^2=xy

(2x-y)^2+3y^2=0→x=0,y=0 (NG)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(n^2-k^2)=(n+k)(n-k)=N^2

N=n-(k-1),n-(k-2),・・・,n-1,n,n+1,・・・,(n+k-2),n+(k-1)のいずれか

[1]-k^2=-2(k-j)+(k-j)^2

[2]-k^2=+2(k-j)+(k-j)^2

[1]2k^2-2(1+j)k+2j+j^2=0

k={(1+j)+/-{(1+j)^2-2(2j+j^2)}^1/2}/2

k={(1+j)+/-{1-2j-2j^2}^1/2}/2

[2]2k^2+2(1-j)k-2j+j^2=0

k={-(1-j)+/-{(1-j)^2-2(-2j+j^2)}^1/2}/2

k={(1+j)+/-{1+2j-2j^2}^1/2}/2

kは整数にはならない

もっとも、このことは直観的にわかることであろう

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝