α=π/n,頂点(0,1),底辺の中点(0,-cosα)

c=cosα、s=sinα、η=2c(1+c)

E=(0,1)-η(s,c)を中心として

半径r=η=2c(1+c)の弧を描けばよいことになる。

n=3のとき、η=3/2

E=(0,1)-3/2(√3/2,1/2)=(-3√3/4,1/4)

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Ex=-(1+cosα)cosψ1cosψ2/sinα

Ey=1/2(1+cosα)sin(ψ1-ψ2)/sinα+(1-cosα)/2

Er=η

頂点を通る円弧の場合、

ψ1=2α-π/2、ψ2=π/2-α

tanα=(1+cosα)/x

x=(1+cosα)/tanα

η=2xsinα=2c(1+c)

Ex=-(1+cosα)sin2α＝2c(1+c)s

Ey=-1/2(1+cosα)sin3α/sinα+(1-cosα)/2=1-2c^2(1+c)

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r≠0の場合

Ex=-2δcosψ1cosψ2/sin(ψ1+ψ2)

Ey=δsin(ψ1-ψ2)/sin(ψ1+ψ2)

Er=η-r(cosψ1+cosψ2)/sin(ψ1+ψ2)

n=3とおくと

δ=(1-2r-r+1/2)/2=3(1-2r)/4,α=π/3

辺の傾きはπ-α

垂線の傾きはψ2=π/2-α=π/6

ψ1=α-(π/2-α)=2α-π/2=π/6

Ex=-3(1-2r)/2cosπ/6cosπ/6/sinπ/3=-(1-2r)3√3/4・・・合致

Ey=3(1-2r)/4sin0/sinπ/3=0 ・・・+y0が必要 ・・・さらに+(1-2r)/4となっていることに注意

Er=3/2-r(cosπ/6+cosπ/6)/sinπ/3=3/2-2r・・・ 合致

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中心(Ex,yy),半径Erの円が接点(r√3/2,1-2r+r/2)を通る

(x-Ex)^2+(y-yy)^2=Er^2

(r√3/2+(1-2r)3√3/4)^2+(yy-1+3r/2)^2=(3/2-2r)^2

(-r√3+3√3/4)^2+(y-1+3r/2)^2=(3/2-2r)^2

3r^2-9r/2+27/16+y^2+2(-1+3r/2)y+(1-3r/2)^2=(3/2-2r)^2

y^2+2(-1+3r/2)y+3r^2-9/2r+27/16+1-3r+9r^2/4=9/4-6r+4r^2

y^2+2(-1+3r/2)y+7/16-3r/2+5r^2/4=0

y^2+2(-1+3r/2)y+7/16-24r/16+25r^2/16=0

y=1-3r/2+{1-3r+9r^2/4-7/16+24r/16-25r^2/4}^1/2

y=1-3r/2+(4r-3)/4=1/4-2r/4=(1-2r)/4

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したがって、円の中心のy座標は(0,1-2r)と(0,r-1/2)の中点にあり、この円は(r√3/2,r-1/2-r/2)を通るはずである

(x-Ex)^2+(y-yy)^2=Er^2

(r√3/2+(1-2r)3√3/4)^2+((1-2r)/4-r+1/2+r/2)^2=(3/2-2r)^2

(1-2r)/4-r+1/2+r/2=3/4-r

一方、

(1-2r)/4-1+3r/2=-3/4+r・・・OK

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