［Ｑ］ｓに関する４次方程式

　　ｓ^4＋ｘｓ^3＋ｓ^2＋ｙｓ＋１＝０

が重根をもつ範囲を図示せよ．

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　その判別式を計算するのも容易ではないが，

Ｄ＝２５６ａ^3ｅ^3−２７ｂ^4ｅ^2

−１２８ａ^2ｃ^2ｅ^2＋１４４ａｂ^2ｃｅ^2＋１６ａｃ^4ｅ−４ｂ^2ｃ^3ｅ

＋１４４ａ^2ｃｄ^2ｅ−６ａｂ^2ｄ^2ｅ−４ａｃ^3ｄ^2＋ｂ^2ｃ^2ｄ^2

−１９２ａ^2ｂｄｅ^2−８０ａｂｃ^2ｄｅ＋１８ｂ^3ｃｄｅ

＋１８ａｂｃｄ^3−４ｂ^3ｄ^3

−２７ａ^2ｄ^4

　ａ＝１，ｂ＝ｘ，ｃ＝１，ｄ＝ｙ，ｅ＝１を代入すると

Ｄ＝２５６−２７ｘ^4−１２８＋１４４ｘ^2＋１６−４ｘ^2＋１４４ｙ^2−６ｘ^2ｙ^2−４ｙ^2＋ｘ^2ｙ^2−１９２ｘｙ−８０ｘｙ＋１８ｘ^3ｙ＋１８ｘｙ^3−４ｘ^3ｙ^3−２７ｙ^4

＝−２７（ｘ^4＋ｙ^4）＋１４０（ｘ^2＋ｙ^2）＋１８（ｘ^3ｙ＋ｘｙ^3）−４ｘ^3ｙ^3−５ｘ^2ｙ^2−２７２ｘｙ＋１４４＝０

　パラメトライスの仕方は

　　（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）^2＝０

　　（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）^2（ｓ−ｃ）＝０

　　（ｓ−ａ）^2（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）＝０

　　（ｓ−ａ）^2（ｓ^2＋ｂｓ＋ｃ）＝０

　　（ｓ−ａ）^3（ｓ−ｂ）＝０

　　（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）^3＝０

　　（ｓ−ａ）^2（ｓ−ｂ）^2＝０

などが考えられる．

［１］（ｓ−ａ）^2（ｓ−ｂ）^2＝０の場合

　　ｘ＝−２（ａ＋ｂ）

　　１＝ａ^2＋４ａｂ＋ｂ^2

　　ｙ＝−２ａｂ（ａ＋ｂ）

　　１＝ａ^2ｂ^2→ａｂ＝−１，ａ＋ｂ＝±√３で解は点となってしまう．

［２］（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）^2（ｓ−ｃ）＝０の場合

　　ｘ＝−（ａ＋ｃ）−２ｂ

　　１＝ａｃ＋ｂ^2＋２ｂ（ａ＋ｃ）

　　ｙ＝−ｂ^2（ａ＋ｃ）−２ａｂｃ

　１＝ａｂ^2ｃ→ａ，ｃをｂで表すことができればone parametere curveになるが，

　　ａｃ＝１／ｂ^2

　　ａ＋ｃ＝−（ｂ^2−１＋１／ｂ^2）／２ｂ

　　ｘ＝（ｂ^2−１＋１／ｂ^2）／２ｂ−２ｂ

　　ｙ＝ｂ（ｂ^2−１＋１／ｂ^2）／２−２／ｂ

となる．

　one parametere curveが得られたが，以下，すべての場合について検討しなければならない．

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