【１】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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【２】△＝□とペル方程式

　　△＝Ｔn（三角数），□＝平方数

　　８△＋１＝□

　△＝□，すなわち，三角数自身が平方数となるためには

　　８ｘ^2＋１＝ｙ^2

　この一般解は

１／３２｛（１７＋１２√２）^n＋（１７−１２√２）^n−２｝???

で与えられる．

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y^2-8x^2=1

Pn+√8qn＝(3+√8)^n

pn+1+√8qn+1=(3+√8)(Pn+√8qn)=(3pn+8qn)+√2(pn+3qn)

pn+1=3pn+8qn=3pn+(8pn-1+24qn-1)=3pn-pn-1+(9pn-1+24qn-1)=6pn-pn-1

qn+1=pn+3qn=3pn-1+8qn-1+3qn=3(pn-1+3qn-1)-qn+3qn-1=6qn-qn-1

P1=3,q1=1,p0=1,q0=0

α=3+√8，β=3-√8

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√8

A=[3,8]

[1,3]

un+2=A^2un=(a+d)Aun-(ad-bc)Iun

=(a+d)un+1-(ad-bc)un

=6un+1-un

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