【４】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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p^2-2q^2=1の解

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=3+2√2，β=3-2√2 ,α＋β=6,αβ=1

n={(α^k+β^k)/2-1}/2

m={(α^k-β^k)/4√2}

Pn+√2qn＝(3+2√2)^n=(1+√2)^2n

pn+1+√2qn+1=(3+2√2)(Pn+√2qn)=(3pn+4qn)+√2(2pn+3qn)

pn+1=3pn+4qn=3pn+(8pn-1+12qn-1)=3pn-pn-1+3(3pn-1+4qn-1)=6pn-pn-1

qn+1=2pn+3qn=6pn-1+8qn-1+3qn=3(2pn-1+3qn-1)-qn-1+3qn=6qn-qn-1

P1=3,q1=2,p0=1,q0=0

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ケイリー・ハミルトン

A=[3,4]

[2,3]

un+1=Aun,un+2=Aun+1

un+2=A^2un

A^2=(trA)A-(detA)I

＝(a+d)A-(ad-bc)I

un+2=A^2un=(a+d)Aun-(ad-bc)Iun

=(a+d)un+1-(ad-bc)un

=6un+1-un

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p^2-2q^2=-1の解

Pn+√2qn＝(1+√2)(3+2√2)^n-1=(1+√2)^2n-1

pn+1+√2qn+1=(3+2√2)(Pn+√2qn)=(3pn+4qn)+√2(2pn+3qn)

pn+1=3pn+4qn=3pn+(8pn-1+12qn-1)=3pn-pn-1+3(3pn-1+4qn-1)=6pn-pn-1

qn+1=2pn+3qn=6pn-1+8qn-1+3qn=3(2pn-1+3qn-1)-qn-1+3qn=6qn-qn-1

P1=1,q1=1,p0=-1,q0=1

A=[3,4]

[2,3]

un+2=A^2un=(a+d)Aun-(ad-bc)Iun

=(a+d)un+1-(ad-bc)un

=6un+1-un

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p^2-2q^2=+/-1の解

Pn+√2qn＝(1+√2)^n

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=1+√2，β=1-√2

pn+1+√2qn+1=(1+√2)(Pn+√2qn)=(pn+2qn)+√2(pn+qn)

pn+1=pn+2qn=pn+(2pn-1+2qn-1)=pn+pn-1+(pn-1+qn-1)=2pn+pn-1

qn+1=pn+qn=pn-1+2qn-1+qn=(pn-1+qn-1)+qn=2qn+qn-1

P1=1,q1=1,p0=1,q0=0

A=[1,2]

[1,1]

un+2=A^2un=(a+d)Aun-(ad-bc)Iun

=(a+d)un+1-(ad-bc)un

=2un+1+un

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