【４】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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p^2-2q^2=4の解

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=6+4√2，β=6-4√2

Pn+√2qn＝(6+4√2)^n

pn+1+√2qn+1=(6+4√2)(Pn+√2qn)=(6pn+8qn)+√2(4pn+6qn)

pn+1=6pn+8qn=6pn+(32pn-1+48qn-1)=6pn-4pn-1+6(6pn-1+8qn-1)=12pn-4pn-1

qn+1=4pn+6qn=24pn-1+32qn-1+6qn=6(4pn-1+6qn-1)-4qn-1+6qn=12qn-4qn-1

P1=6,q1=4,p0=1,q0=0

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p^2-2q^2=-4の解

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=6+4√2，β=6-4√2

Pn+√2qn＝(2+2√2)^n

pn+1+√2qn+1=(2+2√2)(Pn+√2qn)=(2pn+4qn)+√2(2pn+2qn)

pn+1=2pn+4qn=2pn+(8pn-1+8qn-1)=2pn+4pn-1+2(2pn-1+4qn-1)=4pn+4pn-1

qn+1=2pn+2qn=4pn+8qn-1+2qn=2(2pn-1+2qn-1)+4qn-1+2qn=4qn+4qn-1

P1=2,q1=2,p0=1,q0=0

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