【４】三角数△と四角数□のパズル

（Ｑ１）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ１）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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p^2-2q^2=1の解

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=3+2√2，β=3-2√2 ,α＋β=6,αβ=1

n={(α^k+β^k)/2-1}/2

m={(α^k-β^k)/4√2}

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p^2-2q^2=-1の解

Pn+√2qn＝(1+√2)(3+2√2)^n-1=(1+√2)^2n-1

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p^2-2q^2=+/-1の解

Pn+√2qn＝(1+√2)^n

P＝(α^k+β^k)/2

q=(α^k-β^k)/2√2

α=1+√2，β=1-√2

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