［Ｑ］ｓに関する３次方程式

　　ｓ^3＋ｘｓ^2＋ｙｓ＋１＝０

が１つの実数解と１組の重根をもつ範囲を図示せよ．

　この問題はシェイプ・パラメータ（ｘ，ｙ）の位置によって，いろいろなバリエーション，たとえば，

　　ｘｓ^3＋ｙｓ^2＋ｓ＋１＝０

　　ｘｓ^3＋ｓ^2＋ｙｓ＋１＝０

　　ｘｓ^3＋ｓ^2＋ｓ＋ｙ＝０

　　ｓ^3＋ｘｓ^2＋ｓ＋ｙ＝０

　　ｓ^3＋ｓ^2＋ｘｓ＋ｙ＝０

などが可能になる．

　しかし，それよりも興味があるのは，

　　４x^3＋４ｙ^3−ｘ^2ｙ^2−１８ｘｙ＋２７＝０

の媒介変数表示

　　ｘ＝１／ｔ^2−２ｔ，ｙ＝ｔ^2−２／ｔ

　　ｘ＝（１−２ｔ^3）／ｔ^2，ｙ＝（ｔ^4−２ｔ）／ｔ^2

がどのようにしてなされたものなのかということである．

　三角関数が関係していることはすぐに浮かんでくるが，そのような逆問題を解くことは簡単ではない．そこで，・・・

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　もとの３次方程式

　　ｓ^3＋ｘｓ^2＋ｙｓ＋１＝０

が１つの実数解と１組の重根をもつわけであるから，

　　（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）^2＝０

　　ｓ^3−（ａ＋２ｂ）ｓ^2＋ｂ（２ａ＋ｂ）ｓ−ａｂ^2＝０

　　ａｂ^2＝−１

　　ｘ＝−ａ−２ｂ＝１／ｂ^2−２ｂ

　　ｙ＝２ａｂ＋ｂ^2＝−２／ｂ＋ｂ^2

なるパラメータ表示が可能になるというわけである．

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