【１】一般的な代数曲線表示

　ハイポサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓ（ｎ−１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ−１）θ・・・(2)

において，(1)^2+(2)^2より

　　ｃｏｓｎθ＝｛ｘ^2＋ｙ^2−（ｎ−１）^2−１｝／２（ｎ−１）

　これでｃｏｓｎθ，ｓｉｎ^2ｎθが求まったことになりますが，(1)，(2)を以下のように書き換えます．

　　ｘ＝（ｎ−１）ｃｏｓθ＋ｃｏｓｎθｃｏｓθ＋ｓｉｎｎθｓｉｎθ・・・(3)

　　ｙ＝（ｎ−１）ｓｉｎθ−ｓｉｎｎθｃｏｓθ＋ｃｏｓｎθｓｉｎθ・・・(4)

　(3)より

　　ｘ−（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｃｏｓθ＝ｓｉｎｎθｓｉｎθ

両辺を２乗して整理するとｃｏｓθに関する２次方程式

　　｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝ｃｏｓ^2θ−２（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘｃｏｓθ＋ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ＝０

が得られます．したがって，ｃｏｓθを求めるには，ｎの値に関係なく２次方程式を解けばよいことになります．

　　ｃｏｓθ＝α＋β^1/2

α＝（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝

ここで，

　　（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ＝ｘ^2＋ｙ^2

ですから，

α＝（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

β＝｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2ｘ^2−｛（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）｝／（ｘ^2＋ｙ^2）^2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　これを解いてｃｏｓｎθ，ｓｉｎ^2ｎθ，ｃｏｓθ，ｓｉｎ^2θを(4)に代入すれば代数曲線表示が完成しそうな気がしますが，ｃｏｓθに現れる根号がじゃまになって簡単にはいきません．そこで，(1)のｃｏｓθの次数をｎ−１次式から１次式まで下げることにします．

　黄金比φを公比とする等比数列

　　１，φ，φ^2 ，φ^3，φ^4 ，φ^5 ，・・・

を考えると、１＋φ＝φ^2ですから

　　φ^2＝φ＋１

　　φ^3＝φ^2φ＝φ^2＋φ＝２φ＋１

　　φ^4＝φ^3φ＝２φ^2＋φ＝３φ＋２

　　φ^5＝φ^4φ＝３φ^2＋２φ＝５φ＋３

とするのと同じ要領で次数を低下させます．なお，黄金比φには多く性質があり、ここで、ガウス記号［ｘ］（ｘを超えない最大の整数）を用いると、数列｛［φ^n-1］｝の各次数に対応して得られる整数列は

　　１，１，２，３，５，８，１３，・・・

すなわち、フィボナッチ数列｛Ｆn｝となります。

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　Ａ＝２（ｎ−１＋ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

　　Ｂ＝−（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）／（ｘ^2＋ｙ^2）

とおくと

　　ｃｏｓ^2θ＝Ａｃｏｓθ＋Ｂ

　　ｃｏｓ^3θ＝ｃｏｓ^2θｃｏｓθ＝Ａｃｏｓ^2θ＋Ｂｃｏｓθ

　　　　　　　＝（Ａ^2＋Ｂ）ｃｏｓθ＋ＡＢ

　　ｃｏｓ^4θ＝ｃｏｓ^3θｃｏｓθ＝（Ａ^2＋Ｂ）ｃｏｓ^2θ＋ＡＢｃｏｓθ

　　　　　　　＝（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）ｃｏｓθ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ

　　ｃｏｓ^5θ＝ｃｏｓ^4θｃｏｓθ＝（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）ｃｏｓ^2θ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂｃｏｓθ

　　　　　　　＝（（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）Ａ＋（Ａ^2＋Ｂ）Ｂ）＋ｃｏｓθ＋（（Ａ^2＋Ｂ）Ａ＋ＡＢ）Ｂ

　また，

　　ｃｏｓｎθ＝（ｃｏｓθのチェビシェフ多項式）＝Ｔn，

　　ｓｉｎｎθ＝ｓｉｎθ×（ｃｏｓθの多項式）＝ｓｉｎθ×Ｇn

と表すことにすると

　　ｘ＝（ｎ−１）Ｔ1＋Ｔn-1＝Ｃｃｏｓθ＋Ｄ＝Ｃ（α＋β^1/2）＋Ｄ

　　（ｘ−Ｃα−Ｄ）^2＝Ｃ^2β

となって，代数曲線表示が完成します．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　一方，エピサイクロイド

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓ（ｎ＋１）θ・・・(1)

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎ（ｎ＋１）θ・・・(2)

の場合は，(1)^2+(2)^2より

　　ｃｏｓｎθ＝｛ｘ^2＋ｙ^2−（ｎ＋１）^2−１｝／２（ｎ＋１）

　　ｘ＝（ｎ＋１）ｃｏｓθ−ｃｏｓｎθｃｏｓθ＋ｓｉｎｎθｓｉｎθ・・・(3)

　　ｙ＝（ｎ＋１）ｓｉｎθ−ｓｉｎｎθｃｏｓθ−ｃｏｓｎθｓｉｎθ・・・(4)

　　ｘ−（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｃｏｓθ＝ｓｉｎｎθｓｉｎθ

　　｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝ｃｏｓ^2θ−２（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘｃｏｓθ＋ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ＝０

α＝（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

β＝｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2ｘ^2−｛（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）^2＋１−ｃｏｓ^2ｎθ｝（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）｝／（ｘ^2＋ｙ^2）^2

Ａ＝２（ｎ＋１−ｃｏｓｎθ）ｘ／（ｘ^2＋ｙ^2）

Ｂ＝−（ｘ^2−１＋ｃｏｓ^2ｎθ）／（ｘ^2＋ｙ^2）

となるだけで，あとの計算手順は同じです．

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