【１】レムニスケートのパラメータ表示

　レムニスケート：極座標系でｒ^2 ＝ｃｏｓ２θ，直交座標系で（ｘ^2 ＋ｙ^2 ）^2 ＝ｘ^2 −ｙ^2 は，三角関数を用いて

　　ｘ＝ｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

　　ｙ＝ｓｉｎθｃｏｓθ／（１＋ｓｉｎ^2θ）

とパラメトライズされます．

　ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

を使うと

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

と表示されますから，

　　ｘ＝（１−ｔ^4）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4）

　　ｙ＝２ｔ（１−ｔ^2）／（１＋６ｔ^2＋ｔ^4 ）

のようにパラメトライズすることができます．

　（その１）では

ｓｉｎθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

とおいて，

　　ｘ＝ｔ（１＋ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

　　ｙ＝ｔ（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^4 ）

とパラメトライズしたわけですから，パラメトライズの仕方は１通りではありません．

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　次に，もう一つ別のパラメトライズをみてみましょう．レムニスケートは４次曲線ですが，原点（０，０）が有理点ですから，ｙ＝ｍｘとおくことによってパラメータ表示の形に書くことができます．

　　（１＋ｍ^2）^2ｘ^4＝（１−ｍ^2）ｘ^2

　　ｘ＝（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）

　　ｙ＝ｍ（１−ｍ^2）^1/2／（１＋ｍ^2）

ｍ＝ｔａｎθですから，ｔ＝ｔａｎ（θ／２）を使うと

　　ｍ＝２ｔ／（１−ｔ^2）

　　ｘ＝（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2

　　ｘ＝２ｔ（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2（１−ｔ^2）

と置き換えることもできます．

　あるいは，ｒ^4＝ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θより，

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ＝ｃｏｓθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ＝ｓｉｎθ（ｃｏｓ^2θ−ｓｉｎ^2θ）^1/4

ここで，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

　　ｒ＝（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

を使って置き換えることもできるでしょう．すると

　　ｘ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

　　ｙ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）・（（１−６ｔ^2＋ｔ^4）／（１＋ｔ^2）^2）^4

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【２】中間曲線のパラメ−タ表示

　レムニスケートではうまいパラメトライズの方法があったのですが，中間曲線ではどうでしょうか？

　ｙ＝ｍｘとおくことによって

　　（２（ｘ^2＋ｙ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ（ｘ^2＋ｙ^2））^2＝（ｘ^2＋ｙ^2）^3

　　（２ｘ^6（１＋ｍ^2）^3−４ｘ^3＋３ｘ^3（１＋ｍ^2））^2＝ｘ^6（１＋ｍ^2）^3

　　（２ｘ^3（１＋ｍ^2）^3−１＋３ｍ^2））^2＝（１＋ｍ^2）^3

これはＸ＝ｘ^3に関する２次方程式ですから，Ｘ＝ｇ（ｍ）を解として

　　ｘ＝（ｇ（ｍ））^1/3

　　ｙ＝ｍ（ｇ（ｍ））^1/3

とパラメトライズできます．

　あるいは，

　　ｒ^3＝ｃｏｓ^2（３／２θ）＝（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２

より，ｒを三角関数で表すと

　　ｒ＝（（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２）^1/3

　　ｘ＝ｒｃｏｓθ

　　ｙ＝ｒｓｉｎθ

　　ｒ＝（（４ｃｏｓ^3θ−３ｃｏｓθ＋１）／２）^1/3

に対して，

　　ｔ＝ｔａｎ（θ／２）

を使うと

ｓｉｎθ＝２ｔ／（１＋ｔ^2）

ｃｏｓθ＝（１−ｔ^2）／（１＋ｔ^2）

より，

　　ｒ＝（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）

　　ｘ＝（１−ｔ^2）（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）^2

　　ｙ＝２ｔ（３ｔ^2−１）^(2/3)／（１＋ｔ^2）^2

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